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210 Fünfzehnter Abschnitt (Anhang). Zusammensetzung einer unendlichen Folge von Paaren ähnlicher Dreiecke vorstellen könne. 8.12. Lehrsatz. Alle Kreise sind ähnliche Figuren. Beweis. In den Kreisen XLO (Fig. 157.) und ubo Fig. 158. seien die Sehnen ^L, ab die Seiten zweier eingeschriebener re gelmäßigen Dreiecke. Zieht man die Halbmesser OX, OL, os, ob, so sind die Dreiecke XLO, abo ähnlich nach XIII, 15. e Stellt man sich die regelmäßigen Dreiecke ausgezeichnet vor, so besteht jedes aus drei solchen Dreiecken, wie XLO, und es wird daher hinreichend sein, in jeder Figur nur eins derselben näher zu betrachten, weil offenbar die Schluffe, welche man bei dem einen Paare macht, auch für die beiden andern Paare gültig sind. Man halbire die Bogen XOL und aäb in O und ä, und ziehe die Sehnen Xv, OL, aä, äb, welche Seiten eines inneren Sechsecks sein werden, so wird man leicht die Aehnlichkeit der Dreiecke XVL, aäb aus XII, 13. einsehen, woraus nach XII, 20. die Aehnlichkeit der Vierecke XVLO, aäbo folgt. Man halbire ferner die Bogen des Sechsecks, in den Punkten L, L, e, k, und ziehe die Sehnen XL, Lv, Ob', LL, as, oä, äk, kb, welche Seiten eines inneren Zwölsecks sein werden, so ist wieder die Aehnlichkeit der Dreiecke XLO, asä, desgleichen OLL, äkb aus XII, 13. erweislich; woraus nach XII, 20. folgt, daß auch die sechsseitigen Figuren XLVLLO, aoäkbo ähnlich sind. Es fällt in die Augen, wie diese Schlüsse auf eine völlig gleich förmige Art fortgesetzt werden können. Denn halbirt man die Bogen des Zwölsecks, und zieht die Seiten eines Vieruud- zwanzigccks; so ist klar, daß man zu den Figuren, deren Achn- lichkeit vorher erwiesen worden, lauter ähnliche Dreiecke aus einerlei Weise hinzufügt, und daß also die so zwischen OX und OL, desgleichen zwischen oa und ob enthaltenen Ausschnitte der Merundzwanzigecke ebenfalls ähnlich sind; w. , Auf diese Art können also jede zwei regelmäßigen Polygone von gleichviclen Seiten aus einer gewissen Anzahl ähnlicher Dreiecke auf völlig gleiche Weise zusammengesetzt werden. Aus den vorigen 8- 8. dieses Anhanges aber geht hervor, daß der Unterschied der Flächen eines äußern und eines innern Po lygons, also noch mehr ihr Unterschied von der Kreisfläche durch fortgesetzte Verdopplung der Seitenzahl kleiner werden könne als jede Größe, die sich angeben läßt (z. B. kleiner als