209 Berechnung der Ludolfschen Zahl. Ziffer hätte, so daß sein Unterschied von 1 kleiner wäre, als eine Vrucheinheit der nten Stelle. v. Daß endlich auch der Unterschied der Fläche eines inneren Po lygons und der Kreisfläche kleiner werden könne, als jede ge gebene Größe, läßt sich auf folgende Art darthun. Wenn wir die Fläche eines inneren Polygons l?, eines äußeren k, und den kleinen Halbmesser des inneren Polygons y nennen, so ist (nach §. 7.) — k?; also k—kpp — k--F, oder k—l? — k (1—(,(,) ----- k (1 Z- (i—Da nun k bei jeder Ver dopplung der Seitenanzahl abnimmt; 1 -j- aber sich der Größe 2 nähert, ohne sie zu erreichen; 1 — y endlich nach b) ohne Ende abnimmt, so ist deutlich, daß auch k—ky ohne Ende abnehme und kleiner werden könne, als jede gegebene Größe. Was aber von dem Unterschiede der Flächen eines äußern und innern Polygons gilt, muß noch vielmehr vom Unterschiede der Fläche des Kreises und der inneren Polygone gelten. <l. Sollte also die Ludolfsche Zahl in einer vorgeschriebenen An zahl von n Bruchstellen genau dargestellt werden, so müßte man nur die sämmtlichcu im Vorhergehenden beschriebenen Rechnungen vom Anfang an auf einige Bruchstellen weiter als n treiben. Auf diese Art müßte man nothwendig einmal auf ein inneres und äußeres Polygon kommen, deren Flächen in Zahlen ausgedrückt, unter sich, und folglich auch mit der Kreis- fläche in den n ersten Bruchstellen völlig übereinstimmten. Von der Aehnlichkeit der Kreise. 8.11. Anmerkung. Die Aehnlichkeit der Kreise ist in 8. 12. des Abschn. daraus abgeleitet worden, daß man (nach 8- 1.) Kreise betrachten kann als reguläre Polygone von gleicher aber unendlich großer Seitenzahl. Hier soll noch gezeigt werden, wie sich diese Aehn lichkeit noch unmittelbarer aus dem oben aufgestellten Begriffe der Aehnlichkeit vielseitiger Figuren ableiten läßt. Da nämlich in dieser Erklärung die Anzahl der Paare ähnlicher Dreiecke, aus welchen zwei Figuren zusammengesetzt werden, völlig unbestimmt ist, und so groß angenommen werden kann als man will, so darf man sie auch unendlich groß annehmen; und in dieser Ausdehnung läßt sich dann die Erklärung nicht bloß auf Kreise, sondern überhaupt auf krummlinige Figuren anwenden. Im folgenden 8- soll nun gezeigt werden, wie man sich die Entstehung zweier Kreise durch eine ganz gleichmäßige Fischer s Ebene Geometrie.