204 Fünfzehnter Abschnitt (Anhang). Die Fläche dieses Dreiecks XLO ist aber ----- Xv X Ov --- V2 X V2 <3 -- V4 <3. Also ist des Sechsecks ganze Fläche --- 3/2 <3 -- 2,598 076 2 Die Einheit dieser Zahl ist aber das Quadrat des Halbmessers. Anmerkung. 1) In der Figur sind um der folgenden Sätze willen mehr Linien gezogen, als für §. 1. nöthig wären. Es ist zu empfehlen, daß sich der Schüler zu jedem Satze eine eigene Figur zeichne, und in dieselbe nur die für den Satz nöthigen Linien bringe. 2) Im Anhänge zum Abschnitt XIV. (§. 5.) ist die Entwickelung gegeben, welche auch hier paßt, wenn dort r — 1 gesetzt wird. 8-2. Erklärung. Wir wollen in den folgenden §. 8. überall den Halbmesser des Kreises, der zugleich der große Halbmesser aller inneren Polygone ist, — 1, den kleinen Halbmesser solcher Polygone ----- 9, und die Fläche -- D setzen. Für ein inneres Polygon von doppelter Seitenanzahl sol len die Zeichen 9 und I" den kleinen Halbmesser und die Fläche anzeigen. §. 3. Aufgabe. Es ist der kleine Halbmesser eines inneren Polygons — § gegeben, es soll der kleine Halbmesser ---- 9' eines inneren Po lygons von doppelt so vielen Seiten gefunden werden. Es werde Fig. 156. die Sehne XL in dem Kreise um 0 als Seite eines regulären eingeschriebenen Polygons betrachtet, die von dem Durchmesser ED senkrecht in I) durchschnitten wird, dann ist OX -- OD --- 1, Ov -- 9, Ev ---- 1 9. Zieht man die Sehne XD, so ist diese, wie leicht erkannt wird, die .Seite des in denselben Kreis eingeschriebenen Polygons von doppelter Seitenzahl und ein vom Mittelpunkt darauf gefälltes Perpendikel der kleine Halbmesser desselben, also OD — 9'. Zieht man noch die Sehne XE, so ist (aus IV, 19.) leicht zu beweisen, daß XE doppelt so groß als OD ist; also XE —29. Nun erkennt man leicht die Aehnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke DDO und XI)6 aus der Gleichheit der spitzen Winkel VOD und XED (I, 23. s.) und daraus die Proportion DO : XE ---- DO : VE oder 1 : 29' --- 9' : 1 Z- 9. Aus dieser folgt (XI, 15.) 2 9 2 -- 1 9 oder 9' < V2 (14- 9) Anmerkung. Man vergleiche auch Anhang zu XIV, §. 9.,