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202 Fünfzehnter Abschnitt. leistet die Ludolfschc Zahl alles, was nur verlangt werden kann. Von dieser Seite ist also nichts zu erfinden übrig. Die rein-geometrische Quadratur ist ein nicht ausgelöstes und, wie die höhere Mathematik lehrt, auch nicht aufzulösendes Problem. Nichts destoweniger beschäftigen sich noch fortdauernd Manche, die nicht tiefer in die Mathematik cinzudringen ver mochten, mit der Auflösung desselben, ohne zu erwägen, daß, wenn auch jemand eine solche Quadratur erfinden könnte, den noch für die Anwendung gar nichts gewonnen sein würde, und daß wir sortfahren müßten, alle Kreisaufgaben gerade so, wie bisher, zu behandeln. Um den Begriff einer rein geometrischen Quadratur recht anschaulich zu machen, fügen wir nachfolgenden Satz hinzu. §.16. Lehrsatz. Wenn man im Umfange eines Halbkreises einen Punkt beliebig wählt, von diesem zwei Sehnen nach den Endpunkten deS Durchmessers zieht, und über diesen Sehnen zwei außer halb des ersten Kreises liegende halbe Kreislinien beschreibt, so sind die beiden sichel- oder mondförmigen Flächen, die zwischen den Peripherien dieser Halbkreise und dem ersten Kreise liegen, dem Dreieck gleich, welches der Durchmesser mit den beiden Sehnen cinschließt. Beweis: In Fig. 155. ist über ^L ein Halbkreis errichtet, und in seinem Umfange der Punkt I) beliebig gewählt. Von I). find die Sehnen 1)^. und OL gezogen, und über jeder ein Halbkreis, Xvv und LEV, beschrieben. Es ist nun zu be weisen, daß die beiden sichelförmigen Flächen -VVVL^e und LEVEL zusammengenommen dem Dreieck ^.VL gleich sind. Der Winkel ^VL ist ein rechter (V, 18.), daher — P DL- (V, 14.). Sind nun 6, I, L, die Mittel- ' Punkte der Halbkreise, so ist -^L — 2^6, also — 4^0^; ^.1)2 --- VL2 ----- 4UL2, Folglich 4^0^ ----- 4^V P 4LL?, Multiplicirt man auf beiden Seiten durch Vz -r, so erhält man Vr -- Vs st Vr LL?7r. Nach §. 10. aber, ist 1) — Halbkreis -VVL, 2) — Halbkreis ^vv, 3) V-.LX^ --- Halbkreis LEV. Man sieht also, daß der zuerst genannte Halbkreis gerade so groß ist wie die beiden letzten zusammengenommen. Nimmt man nun vom Halbkreise ^evL die beiden Abschnitte ^VVI^e und LEVLlL weg, so bleibt das Dreieck ^VL übrig. Nimmt man aber eben diese Abschnitte von den beiden kleine-