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§. 2. Lehrsatz. Wenn man den großen Halbmesser eines Polygons durch r, den kleinen durch y, die Seite durch 8, die Fläche durch L, und die Seitenanzahl durch n bezeichnet; so lassen sich die Grö ßen 8, L auf folgende Art bestimmen: a) 8 ^ 2 <(--- — (.2), ' b) ? --- V- — s2), o) L -- r/^ N8^>. Beweis. a. Man betrachte das regelmäßige Fünfeck LDlllL (Taf. V, Fig. 107.), und sehe zuerst auf das Bestimmungsdreieck XLD, in welchem DD der große, DX der kleine Halbmesser und Uly die halbe Seite ist; so sieht man leicht ein, 1) daß XD — V(I^b'2 — H^2), woraus die Formel a) hervorgeht, wenn man für die Linien XD, DD, XD die im Lehrsätze festgesetz ten Bezeichnungen annimmt. b. Man sieht auf dieselbe Weise, daß DX-- <(DD2 —XD2); Welches mit den Bezeichnungen des 8- giebt: p -- <(>2 — ^«2) woraus b) durch eine leichte Veränderung der Formel folgt. 0. Die Richtigkeit von 0) ergäbt sich aus XIV, 14. Anmerkung. In den folgenden Sätzen werden die Buchstaben r, 8, 1'' in der angeführten Bedeutung genommen, für n aber immer die bestimmte Seitenzahl gesetzt werden. Die Sätze selbst sollen aber darthun, wie man bei einem regelmäßigen Dreieck, Viereck, Sechseck, Zehncck, Fünfeck, Funfzchneck y, 8 und I? bestimmen kann, wenn r gegeben ist. 8-3. Lehrsatz. In einem regelmäßigen (d. i. gleichseitigen) Dreiecke ist: a) die Seite oder 8 r VB, i>) der kleine Halbmesser oder ? --- ^ r, 0) die Fläche oder I? --- ^4 r2 V 3. Beweis. Es sei das gleichschenklige Dreieck XLO (Taf. VI, Fig. 152.) in einen Kreis, dessen Mittelpunkt II ist, einge schrieben. Man ziehe aus I) durch eine Seite XL winkclrecht den Halbmesser DD; so ist durch diesen der Bogen XL in I!, und die Sehne XL in ly halbirt; mithin ist die Sehne XL als Sehne des sechsten Thcilcs der Peripherie dem Radius LI) gleich; zieht man nun XD, so ist auch DX -- XD. Hieraus läßt sich leicht die Eongrucnz der, Dreiecke DDX und DDX her- Rscher's Ebene Geometrie. 1