174 Vierzehnter Abschnitt. ^ XO und ziehe die Hülfslinie OX. Dann bestimme man zuerst nach tz. 5. b. das Verhältniß der Dreiecke DON und OLX; darauf das Verhältniß I)LX : OXX und setze diese Verhältnisse zusammen (XI, 28.). Die Zusammensetzung ergiebt mit Be rückstchtigung von tz. 7. und der Congruenz der Dreiecke XLO und OIXI die oben aufgestellte Proportion. Sind ferner b) die Dreiecke XEO und Olli' gegeben; so daß XEO dem Neben winkel von OVO gleich ist; so mache man auch OL — EO fund vM- XE. Es ist dann auch XEO: OXX --MX EX : VX X VX. Man verlängere XE über E bis.X; so daß EX -- EX und ziehe OX. Dann ist Dreieck II6X -- OEX (V, 7.) und Winkel OEX -- XVX. Man beweist also, wie oben, leicht die Proportion OEX: XVX ^ OE X EX: OL . VX. In diese hat man nur Gleiches für Gleiches zu setzen, um b. zu beweisen. 8. 20. Lehrsa tz. Wenn man in zwei ähnlichen Dreiecken gleichliegende Li nien zu Grundlinien annimmt, so verhalten sich die dazu ge hörigen Höhen wie die Grundlinien. Anleitung zum Beweise. Die Dreiecke XLO und alle Fig. 151. seien ähnlich, und die mit gleichen Buchstaben bezeichneten Win kel gleich. Wenn man nun zu den gleichliegenden Grundlinien XL und uli die zugehörigen Höhen Ov und ocl zieht, so ist. zu beweisen, daß 6O : vä — XL : sk. Zuerst ist aus XII, 7. leicht zu beweisen, daß die Dreiecke XOV, soä ähnlich sind. Daher läßt sich das Verhältniß 6V : ocl mit dem Verhältniß EX: os vergleichen. Aber wegen der vorausgesetzten Aehnlichkeit der Dreiech- XLO, ade läßt sich auch das Verhältniß XL : ab mit demselben Verhältniß XO : so vergleichen; woraus die Richtigkeit des Satzes ohne Schwierig keit folgt. 8.21. Lehrsatz. Die Flächen zweier ähnlichen Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate zweier gleichliegenden Seiten. Beweis. Wenn die Dreiecke XL6, sbe (Fig. 151.) wie im vorigen tz. als ähnlich angenommen werden, so ist zu bewei sen, daß Dreieck XLO : slio — XL^ : sl>2. Nach tz. 19. ist das Verhältniß der Dreiecke XLO und ado zu sammengesetzt aus den Verhältnissen XL : sll und XO : so.