166 Vierzehnter Abschnitt. von zwei Dreiecken verhalten sich bei gleichen Höhen wie die Grundlinien, und bei gleichen Grundlinien wie die Höhen. Der Beweis von n) beruht auf V, 5., der von d) auf V, 7. Beide sind so leicht, daß sie keiner näheren Erörterung bedürfen. 8. 6. Lehrsatz. Das Verhältniß der Flächen u) zweier beliebigen Paralle logramme, b) zweier beliebigen Dreiecke ist aus den Verhält nissen der Grundlinien und Höhen derselben zusammengesetzt. Beweis, a) Es seien 66 Fig. 144. und 66 Fig. 146. zwei beliebige Parallelogramme, ihre Grundlinien seien XL und Lid, und die zugehörigen Höhen seien 61) und 611. Es ist also zu beweisen, daß daS Verhältniß der Flächen, L6:66 gleich ist dem zusammengesetzten Verhältniß von XL: 66 und 6V : 66. Man zeichne ein Rechteck 66 Fig. 145., dessen Grundlinie 16 — XL, und dessen Höhe 16 — 611, so verhält sich nach §. 5. L6 : 66 -- 6V : 61 -- 6V : 611; 66 : 66 --16 :66 ----- XL : 66, In diesen Proportionen sind bloß die ersten und Dritten Ver hältnisse in Betrachtung zu ziehen, und hieraus ergiebt sich nach XI, 28.: L6 :66 ---- 66 X XL : 66 X 66, welches zu erweisen war. In dem Hefte ist nur noch hinzuzufügen 1) der Beweis von b), welcher auf V, 6. beruht; 2) soll die Frage beantwortet wer den, wie der Lehrsatz ausgedrückt werden könne, ohne das Kunst wort Zusammensetzung der Verhältnisse zu gebrauchen. 6. Ausmessung der Parallelogramme, Dreiecke und unregel mäßigen Vierecke. 8-7. Aufgabe. Die Fläche eines Parallelogramms auszumessen. Bei der Auflösung einer jeden solchen Aufgabe müssen vier Punkte ausdrücklich erwähnt werden. Es muß nämlich ange zeigt werden, 1) ob und welche Hülfslinien zu ziehen sind, 2) welche Linien gemessen werden müssen, 3) welche Rechnung mit dem Zahlenmaaß dieser Linien zu machen ist, 4) welche Be nennung das Ergebniß der Rechnung habe. Wir wollen von der obigen Aufgabe die Auflösung und den Beweis vollständig hersetzen, damit nach diesem Muster die folgenden ausgearbcitet werden können.