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163 Ausmessung der geradlinigen Figuren. sein würden den Ziffern des Verhältnisses Xd :DL, gesetzt auch, daß vie Reihe der Brüche ohne Ende fortginge. Man setze Xd — I, und trage dieses, wenn cs angeht, und so oft es angeht, auf DL. Wir nehmen an, cs gehe dreimal und bleibe ein Ress dL, der kleiner ist als Xd. Errichtet man nun in jedem Theilpunkt eine Winkelrcchte, so schneidet jede ein Rechteck ab, so groß als XL (V, 5.), also ^ 1. Es ist also klar, daß aus DL gerade so viel ganze Einhei ten XL, als auf DL ganze Einheiten Xd gehen. Nun stelle man sich vor, daß zur Ausmessung des Restes DL, die Einheit Xd in Zehntel getheilt sei, und in jedem Theil- punktc eine winkelrcchte Linie errichtet werde, so ist klar, daß dadurch auch die Flächeneinheit XL in Zehntel getheilt sei. Trägt man nun von den Zehnteln der Linie Xd aus den Rest DL so viele, als Raum haben, und errichtet wieder in jedem Theilpunkte eine winkelrechte Linie, so ist wieder sichtbar, daß der Flächenrest dL eben so viele Zehntel von XL, als der Linienrcft dL Zehntel von Xd enthält. Es fällt in die Augen, wie diese Schlüsse fortgesetzt werden kön nen. Denn bleibt auf DL ein Rest, der nur durch Hundertel von Xd gemessen werden kann, so läßt sich auf eben die Art beweisen, daß eben so viel Hundertel, als von Xd auf diesen Linienrest gehen, gerade so viele Hundertel von XL auf den Flächenrcst gehen werden. Da diese Schlüffe aber ohne Ende fortgesührt werden können; so ist klar, daß die Zahlen, welche den Werth von DL aus der Einheit Xd und den Werth von DL aus der Einheit XL ausdrückcn, in allen einzelnen Ziffern der Reihe nach gleich sein müssen, es mag sich DL durch irgend einen Theil von XL ausmessen lassen, oder nicht. Nun ist aber nach XI, 4. der Werth, welchen das Hinterglied eines Verhältnisses erhält, wenn man das Vorderglied — 1 setzt, nichts anders als der Anzeiger des Verhältnisses, folglich haben die Verhältnisse Xd : DL, und XL : DL einerlei An zeiger, und sind also gleich, was zu erweisen war. d. Der Beweis des zweiten Theiles erfordert nichts als einen Um tausch von Worten und Begriffen. Nennt man nämlich in Fig. 142. und 143., was jederzeit verstecktet ist, Ld und LL Grundlinien, so haben die Rechtecke gleiche Grundlinien, aber verschiedene Höhe, Xd und DL; dieselbe Proportion also, welche bei n) erwiesen worden, enthält auch schon den Beweis von l>). §. 5. Zusatz. Auch die Flachen a) von zwei Parallelogrammen und b)