Proportionen im Kreise. 161 VO : VO -- VO : VL. Man ziehe die Hülfslinie OL, so ergicbt sich leicht die Aehnlich- keit der Dreiecke OLV und OOV, weil der Winkel OLV — OOV (VI, 22.), und LOV — LOV (VI, 19.); daraus aber folgt die gedachte Proportion. Der Satz bleibt richtig, wenn auch das Loth VO die Verlänge rung der Sehne OL träfe. Der Beweis lautet eben so, wenn man die Zeichnung so macht, daß OL über L hinaus verlän gert wird. 8.11. Lehrsatz. Wenn zwei Sehnen eines Kreises sich winkelrecht durch- schneiden, und man zeichnet ein Viereck in den Kreis, zu wel chem diese Sehnen die Diagonalen werden; so ist a) die Summe der Quadrate von jeden zwei Gegenseiten des Vier ecks, ii) die Summe der Quadrate aus den vier Abschnitten der Diagonalen dem Quadrate des Dürchmesscrs gleich. Anleitung zum Beweise. In Fig. 141. schneiden sich die Sehnen VL und Ov rechtwinklig in O, nnd sind Diagona len des Vierecks VOLO. Von V aus ist der Durchmesser ^O gezogen. Es soll nun bewiesen werden, a) daß VO^ Z- LV2 0L2 -1- Vv^ ^ ^2 d) daß VO- P OL^ s- OO^ P -- VO^. Als Hülfslinien zum Beweise von u) ziehe man OO und OO; so ist Winkel VOO - VOO (VI, 19.) und Winkel VOO — VOO, folglich die Winkel OVO und OVL gleich nach II, 13. Daraus folgt aber, daß OL -- VO (VI, 19. VI, 3.). Da nun VO---VO-P DO-, so ist auch VO^---Vv^ P OL^. Es läßt sich nun leicht zeigen, daß auch der Winkel OVL — OVO, mithin OL — OO; woraus ebenfalls folgt, daß VO^ — VO^ -s. LO'2; dadurch ist aber ») bewiesen. Der Beweis von b) ergiebt sich durch sehr einfache Schlüsse aus a), wenn man sich nur die Quadrate von irgend zwei Gegen seiten VO und LO, oder OL und VO nach V, 14. zerlegt. Fischers Ebene Geometrie. 11