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Um 1>) zu beweisen, ziehe man den Halbmesser XL. Aus der Betrachtung des rechtwinkligen Dreiecks XLL ergiebt sich die Proportion XO : XL XL: XO. Da XL — XL, so wird diese jetzt X0:XL —XL:XV, woraus nach XU, 13, die Aehnlichkeit der Dreiecke XLO und XLL folgt. Aus dieser ergiebt sich dann Ob' : Lv ^ XO : XL -- XO : XL -- OL: LI); was erwiesen werden sollte. Da der Punkt 0 auch in der Peripherie liegt, so muß zur Allgemeinheit des Satzes noch bewiesen werden, daß auch OO: OO --- OL : Lv. Dies folgt aber, wenn man mit der bei n) gefundenen Proportion XL : XO — XL : XL die XI, 22. angegebene Veränderung vornimmt, und die Radien XL und XO- vertauscht, in der dann erhaltenen Proportion 00: XL — 01): XI) die mittleren Glieder umstellt, und für das Ver- hältniß XL (oder XL): XL das ihm gleiche OL:LL setzt. 8-6. Zusatz. Aus dem vorigen §. ergiebt sich, daß das Verhältniß von je zwei Linien, die von den Punkten 6 und v nach einem Punkte der Peripherie des aus X beschriebenen Kreises gezogen werden, dem Verhältnisse OL : Lv gleich sei, woraus sich durch Umkehrung herleiten läßt, daß, wenn man eine Linie Ov bei L in einem bestimmten Verhältnisse getheilt hat, und über und unter derselben lauter Dreiecke errichtet, so daß die andern beiden Seiten, dasselbe Verhältniß OL zu Lv haben, die Spitzen dieser Dreiecke in einer Kreislinie liegen, deren Halbmesser man erhält, wenn man das vierte Glied zu einer Proportion sucht, deren erstes die Differenz der beiden Theile der Grundlinie (VL — OL), das zweite der kleinere Abschnitt derselben (OL), und bas dritte der größere (VL) ist. Um den Beweis dieses Satzes vollständig zu führen, muß man zeigen, s) daß Fig. 137. kein Dreieck möglich ist über der Grundlinie OL, dessen Seiten das Verhältniß OL: LL haben, und dessen Spitze nicht in der Peripherie des Kreises OLLL läge; darauf d) daß die Proportion richtig sei, LL—OL :0L -- VL: XL. Um n) zu beweisen, nehme man an, daß II außerhalb des Krei ses die Spitze eines Dreiecks über der Grundlinie OL wäre, in welchem OL : LL -- OL : LL. Es ist aber auch nach §. 5. OL: Lv -- OL:LV, und da die ses Verhältniß dem von OL:LL gleich ist, in welchem Lv