werden alle Linien, die von einem Punkte der Peripherie des einen durch den Berührungspunkt bis an die Peripherie des andern gehen, im Berührungspunkte in demselben Verhältnisse geschnitten, welches die Durchmesser beider Kreise zu einander haben. Anleitung zum Beweise. In Fig. 135. berühren sich die Kreise BOX und VLO in X von außen. Es sind die Durch messer BX, XO gezogen, und durch den Berührungspunkt die Linie OXL. Es ist zu beweisen, daß OV:VL — LV:X0. Die Hülfslinien BO und L0 geben die ähnlichen Dreiecke BXO und XLO, woraus sich die Proportion crgiebt. 8. 3. Zusatz. In verschiedenen Kreisen verhalten sich die Sehnen, die mit dem Durchmesser gleiche Winkel einschließen, wie die Durch messer der Kreise. Wenn die Sehne BO Fig. 135. mit dem Durchmesser und Sehne 120 mit dem Durchmesser ^.0 gleiche Winkel XLO — VOL einschlicßen, .so sollen sich verhalten LO: LO ^ : XO. Man ziehe Vv und VL, so sind, wie leicht zu erweisen, die Dreiecke VLO, VLO ähnlich u. s. f. Für den Beweis ist na türlich die Lage der Kreise gleichgültig, die hier in der Figur als Berührungskreise gegeben sind. 8. 4. Lehrsatz. Wenn sich zwei Kreise von außen berühren, und man zieht zu beiden eine gemeinschaftliche Tangente (nur nicht die durch den Berührungspunkt der Kreise) (VI, Anh. 6. u.), so ist diese die mittlere Proportionale zwischen den Durchmessern beider Kreise. Beweis. In Fig. 136. berühren sich die beiden Kreise LVXL und XL06l in V; an beide ist die Berührungslinie OL ge zogen; es ist zu beweisen, daß LX : OL — OL : VO. Zum Beweise ziehe man von v und L durch den Berührungs punkt X die Linien OO und LL, und die Linien OL und L6l. - Da nun nach §. 2. VV : — LV : XL, so läßt sich leicht die Ähnlichkeit der Dreiecke OXL und LXO (XII, 13.), und daraus die Parallelität der Linien OL und LO beweisen (I, 22.). Es ist aber der Winkel LVO -- VLX (VII, 8.) -- XLO