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Proport, im Kreise, Ähnlichkeit d. Polygone. 151 Aus §. 4. ergiebt sich unmittelbar mehr als eine Art der Auf lösung, so daß eine nähere Anleitung überflüssig sein würde. 8.7. Lehrsatz. Wenn zwei Sehnen sich innerhalb des Kreises schneiden; so bilden die vier Abschnitte derselben eine Proportion, in wel cher die Abschnitte der einen Sehne äußere, die der andern innere Glieder sind. » Anleitung zum Beweise. Wenn sich die Sehnen AD und Ov (Taf. V, Fig. 129.) innerhalb des Kreises in L schneiden; so ist zu beweisen, daß OL : AL --- LL : Lv. Zum Beweise ziehe man die Hülfslinien AI) und OL (oder auch AO und Lv), so wird man aus XII, 5., verbunden mit I, 18. und VI, 19. sehr leicht die Achnlichkeit der Dreiecke ALI), OLL und hieraus die Nichtigkeit der obigen Propor tion beweisen. Zur Uebung sind alle Umstellungen der Proportion aufzuschrei ben (XI, 21.). 8.8. Anmerkung. Das Maaß der Winkel ALV, LLO (oder auch ALO, LLO) kann durch die Bogen ausgedrückt werden, in welche die Kreislinie durch die Sehnen getheilt ist. Dies ergiebt sich aus II, 10., verglichen mit VI, 18. und IX, 13. 8. 9. Lehrsatz. A ' Wenn sich zwei Sehnen verlängert außerhalb des Kreises schneiden, so bilden die Abschnitte derselben gleichfalls eine Pro portion, wenn man die Abschnitte vom Durchschnittspunkt außer dem Kreise bis zu den Punkten, wo sie die Kreislinie schneiden, rechnet, und die Abschnitte der einen Linie zu äußeren, die der anderen zu innereit Gliedern der Proportion macht. Anleitung zum Beweise. Wenn sich (Fig. 130.) die Sehnen AL und 01) verlängert außerhalb des Kreises in L schneiden, so ist zu beweisen, daß OL: AL — LL:LV. Zum Beweise ziehe man die Sehnen AI) und DO, so ergiebt sich die Achnlichkeit der Dreiecke LLV, OLL aus XII, 5. verbunden mit VI, 19., und hieraus die Richtigkeit der Pro portion. ^ Zur Uebung sind alle Umstellungen der Proportion auszuführen.