130 Dreizehnter Abschnitt. punkten eines Durchmessers zieht, allezeit ein rechtwinkliges ist, so lassen sich die mehrgedachten drei stätigen Proportionen auf Linien anwenden, die in einem Halbkreise gezogen sind. Dieses soll: n. kürzlich an einer Figur wie (Fig. 53.) gezeigt werden. d. Ferner sollen zwei Halbkreise gezeichnet, und in einem jeden gerade nur so viel Linien gezogen werden, als zur Darstellung einer solchen Proportion nothig sind. o. Endlich soll jede dieser Proportionen wörtlich und in solchen Ausdrücken niedergeschrieben werden, wie der Begriff des Halb kreises sodcrt. (Nämlich I)V, 1)6 heißen nun nicht Katheten, sondern Sehnen; ^0 nicht Hypotenuse, sondern Durchmesser.) Anmerkung. Eine Aehnlichkeit dieser Sätze mit V, 14. n. 15. n., desgleichen mit V, 22. wird man vielleicht selbst wahrnehmen. Ihr innerer Zusammenhang wird im 14ten Abschnitt klar werden. 8.5. Lehrsatz. Wenn in einer krummlinigen Figur jedes auf einer Sehne errichtete Loth die mittlere Proportionale zwischen den Abschnit ten dieser Sehne ist, so ist solche Figur ein Kreis, und jene Sehne ein Durchmesser desselben. Anleitung zum Beweise. Es sei ^.OO (Fig. 53.) eine krumme Linie, und ^.0 eine solche Sehne, daß jedes auf sie von der krummen Linie gefällte Loth die mittlere Proportio nale werde zwischen den beiden Abschnitten, die das Loth auf der Sehne macht: es ist zu beweisen, daß ^O6 ein Stück einer Kreislinie ist, deren Durchmesser 4eO ist. Man fälle von einem beliebigen Punkte der Peripherie 1), das^Loth OL; so ist nach der Voraussetzung ^L : LI) --- LO : VO. Manj'z^ ziehe nach den Endpunkten der Sehne ^.O und 17k); so ist Xl)6 ein rechter Winkel nach §. 3. Man halbire ^0 in L, und ziehe OL, so kann man nach VI, 23. beweisen, daß ein Kreis beschrieben mit durch den Punkt v geht, daß also — OL ist. Man überlege, daß dies für alle Punkte der Peripherie gilt, und wird leicht die fehlenden Schlüffe ergänzen. §. 6. Aufgabe. Die mittlere Proportionale zwischen zwei gegebenen Linien zu finden. Ir -