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Proport, im Kreise, Ähnlichkeit d. Polygone. 14!) Anleitung zum Beweise. In dem rechtwinkligen Dreiecke XOO (Taf. III, Fig. 53.) sei aus der Spitze O des rechten Winkels das Loth OL aus die Hypotenuse gefällt, es ist zu beweisen, daß die Dreiecke -VOO, XOL und LOV ähnlich sind. Der Beweis ist sehr leicht, wenn man die Ordnung beobachtet, daß man zuerst die Aehnlichkeit der kleinen Dreiecke mit dem ganzen beweiset, und dabei XII, 16. vor Augen hat. Ist die Aehnlichkeit jedes der kleinen Dreiecke mit XOO bewiesen, so ist klar, daß die Aehnlichkeit derselben unter sich eine un mittelbare Folgerung daraus ist (XII, 8.). Nach der Ausführung dieses Beweises soll noch jedes der drei Paare ähnlicher Dreiecke vorgenommen, und in jedem sollen sämmtliche gleiche Winkel und gleichliegende Seiten aufgezählt werden. §. 2. Zusatz. Unter den vielen Proportionen, welche sich aus den Sei ten dieser drei Paare ähnlicher Dreiecke machen lassen, befinden sich drei stätige (XI, 12.), die ihres häufigen Gebrauchs we gen besonders zu merken sind. Man wird diese leicht finden, wenn man bemerkt, daß die drei Linien OL, OX, OO welche, von der Spitze des rechten Win kels auslaufen, die mittleren Proportionalglieder derselben sind. Jede dieser Proportionen ist nicht nur mit den Buchstaben der Figur auszudrücken; sondern auch in Worten auszusprechen; wobei wir nur bemerken, daß sich die Linien ^L, LO bequem durch die Worte Abschnitte der Hypotenuse bezeichnen lassen. 3. Zusatz. Wenn man in einem beliebigen Punkte L (Fig. 53.) der Linie XO ein Loth Lv errichtet, welches die mittlere Propor- tionale zwischen vpL und LO ist, und man zieht 1)^ und 1)0, ^ so ist ^.OO ein rechter Winkel. Denn aus den Voraussetzungen ergiebt sich, daß die Dreiecke XLO und OLO unter sich (XII, 9.) ähnlich sind, woraus folgt, vaß LVO -h LOO — LVO -j- LOX gleich einem rechten sind. 8> 4. Zusatz. Da jedes Dreieck, welches entsteht, wenn man auö einem beliebigen Punkte einer Kreislinie zwei Sehnen nach den End-