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144 Zwölfter Abschnitt (zweiter Anhang). ^ . 1 Beweis. Aus 8. 9. dieses Abschn. ist die Aehnlichkeit der Dreiecke ^OO, uvä erweislich und hieraus ergeben sich die Proportio nen, welche zum Beweise, daß O und ä gleiche Lagen haben, nöthig sind.' » 8. 3. Lehrsa tz. Wenn man in einem Dreieck (Fig. 124.) zwei be liebige Punkte v und L wählt, in einem ähnlichen Dreieck ade (Fig. 125.) aber zwei gleichliegende Punkte ä und 6 sucht, endlich ÖL und 6s zieht, so Verhalten sich die eben genannten Linien wie zwei gleichliegende Seiten der Dreiecke. Es ist also zu beweisen, daß OL : äs -- 140 : uo. Beweis. Aus dem vorigen §. ist klar, daß die Dreiecke 11.46, äuo desgleichen 1^V6, sus ähnlich sind. Also sind die Winkel O^40, äus, desgleichen L^O, sue, folglich auch ihre Unter schiede 1OVL, äus gleich. Da ferner die Verhältnisse 11.4: äs und : su gleich sind, (weil beide — ^.0 : se) so sind die Dreiecke IU4L, «Ins ähnlich (§. 11. des Abschn.); daher OL : äs — O^.: äs — ^.0 : se. §. 4. Zusatz. Hieraus ist klar, daß jede zwei gleichliegende Linien in ähnlichen Dreiecken einerlei Verhältniß gegen einander haben, nämlich das Verhältniß zweier gleichliegenden Seiten; auch würde sich der Betveis führen lassen, daß sie mit andern gleich liegenden Linien gleiche Winkel machen. 8- 5. Zusatz. Es hat keine Schwierigkeit, das, was hier (§. 1. bis 4.) in Ansehung ähnlicher Dreiecke gezeigt worden, auch auf alle Arten ähnlicher Vielecke auszudehnen. Denn theilt man zwei ähnliche Figuren, wie §. 23. des Abschn., in ähnliche Dreiecke, sucht in zwei zusammenstoßenden Dreiecken gleichliegende Punkte, und verbindet diese durch Linien, so läßt sich durch ganz ähn liche Schlüsse, als 8. 3., zeigen, daß sich diese Linien wie zwei gleichliegende Seiten der Vielecke verhalten, und daß gleich liegende Linien in zwei solchen Figuren allezeit gleiche Winkel einschließen.