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Von der Aehnlichkrit der Figuren. 127 Zwölfter Abschnitt. Von der Aehnlichkeit der Figuren. 8. 1. Lehrsatz. Wenn man zwischen den Schenkeln irgend eines Winkels in beliebiger Richtung zwei Parallelen zieht, so entstehen zwei Dreiecke, u) deren Winkel einzeln verglichen gleich sind, und b) deren gleichliegende Seiten einerlei Verhältniß haben. Beweis. Wenn zwischen den Schenkeln des Winkels -X Fig. 114. die Linien LO, DL parallel gezogen sind, so entstehen die beiden Dreiecke VI',6 und -XDL und es ist zu beweisen, u) daß rc. (Hier sind beide Theile des Satzes bestimmt auf die Figur anzuwenden.) Der Beweis von ») beruht auf I, 23. und hat nicht die ge ringste Schwierigkeit. De» Beweis von b) zu führen, theile man -XL in beliebig viele, am bequemsten (der Decimalrechnung wegen) in zehn gleiche Theile. Träfe nun DL genau auf einen der Theilpunkte, so würde unmittelbar aus IV, E-folgen, daß die drei Verhält nisse -XL : -XD, -XO : ^L, LO : DL gleich wären. Trifft aber DL aus keinen Theilpunkt, wie in der Figur, wo D zwischen dem sechsten und siebenten Theilpunkte liegt, so kann der Be weis auf folgende Art geführt werden. Wenn nämlich die drei Hinterglieder der kurz vorher angeführten Verhältnisse durch Zahlen ausgedrückt werden sollten, wozu jedes,(Vorderglied die Einheit wäre, so läßt sich (ebenfalls aus IV,^1.) zeigen, daß diese Zahlen, Ziffer für Ziffer, gleich sein würden. So ent hält -XD in der Figur sechs Zehntel (0,6) von -XL nebst einem Reste, der kleiner ist als Vio -XL. Zieht man ferner die Li nien LD, DI parallel mit DL durch die beiden dem Punkte D nächsten Theilpunkte D und L, desgleichen durch 6 die Linie DL parallel mit -XL, so ist klar, daß auch -XL sechs Zehntel (0,6) von -XO enthalte, nebst einem Reste, der kleiner als Vr» ^-0 ist. Eben so leicht überzeugt man sich, daß DL (---DL Z-LL) sechs Zehntel von LO nebst einem Reste, der kleiner ist als LO, enthalte. Aus Betrachtung des kleinen Dreiecks DLI aber ergiebt sich durch ähnliche Schlüsse, daß die Linien -XD, -XL und DL auch gleich viel Hundertel, Tausendtel, Zehntausendtel rc. ihrer Einheit enthalten würden.