Elster Abschnitt (Anhang) 12« Eine solche Zahl kann nie genau dargestellt werden, doch kann der Fehler derselben kleiner gemacht werden, als jede ge gebene Größe. Das deutlichste Beispiel irrationaler Zahlen geben die Quadrat wurzeln aus unvollkommenen Quadratzahlen, oder überhaupt die Wurzeln jeder Ordnung aus unvollständigen Potenzzahlen. Um zu zeigen, daß <2 eine Irrationalzahl sei, beweist man 1) daß V2 keine ganze Zahl ist, denn 1^ --- 1, 2^ 4. Es muß also der Werth von < 2 zwischen 1 und 2 liegen. Dann beweist man 2) daß V2 auch kein Bruch der Form — sein n könne. Gesetzt, dies wäre möglich; so wäre auch 2 — ---, d. h. n . n müßte in in. m zweimal enthalten sein. Da aber — als ein Bruch anzusehen ist, der sich nicht mehr heben läßt; so können auch im Zähler und Nenner des Bruches —gemein- schaftliche Factoren nicht mehr vorhanden sein. kann also in nicht genau zweimal enthalten sein Irrationale Zahlen verwechsle man nicht mit solchen Quotienten, welche in Decimalbrüchcn niemals ohne Fehler ausgedrückt wer den können. So ist z. B. ^ — 0,714285 714285 Aber diejenige Größe, welche durch diese Zahl vorgestellt wer den soll, (6/7) ist gegen die Einheit vollkommen commensurabel, und daher ihr Ausdruck in Gestalt eines gemeinen Bruches rational. Nur in Pecimaltheilen der Einheit läßt sich der Werth nicht ohne Fehler ausdrücken; aber wohl auf vielerlei Art in anderen genauen Theilen der Einheit (z. B. in Sieben teln, Vierzehnteln, Einundzwanzigsteln u. s. f.). Ist hingegen ein auszudrückender Werth gegen die Einheit ineommensurabel, so läßt er sich weder durch Decimaltheile, noch durch irgend eine andere Art von genauen Theilen der Ein heit ohne Fehler ausdrücken.