12tt Elfter Abschnitt. Anleitung zum Beweise. Wenn die gegebene Proportion ^ : L — 6 - O heißt, so giebt es a. zwei Ordnungen, in welchen v das letzte Glied ist: die eine ist die gegebene selbst, die andere erhält man durch Anwendung von §. 20. k. Ferner giebt es zwei Ordnungen, in welchen 6 das letzte Glied ist: die erste erhält man durch Anwendung von §. 19. auf die gegebene Proportion, die zweite erhält man, wenn man auf diese abgeleitete §. 20. anwendet. o. Ferner giebt es zwei Ordnungen, in welchen L das letzte Glied ist: die erste erhält man, wenn man auf die gegebene Pro portion §. 18. anwendet. Aus der so abgeleiteten ergiebt sich die andere nach §. 20. ä. Endlich giebt es zwei Ordnungen, in denen ^ das letzte Glied ist: die erste erhält man, wenn man auf die gegebene zuerst §. 18. und 19. anwendet, und die zweite ergiebt sich wieder aus der abgeleiteten nach §. 20. Diese acht Stellungen sind an einer durch Buchstaben dargestellten Proportion wirklich auszuführen, und jedesmal ist wörtlich an zugeben, nach welchen Sätzen jede Proportion gebildet ist. Auch ist hiebei die Frage zu, beantworten, ob diese acht Um stellungen sämmtlich verschiedene Proportionen sind? , P. §.22. Lehrsatz. In jeder Proportion verhält sich das erste oder das zweite Glied zur Summe des ersten und zweiten Gliedes, wie (be ziehungsweise) das dritte oder vierte Glied zur Summe des dritten und vierten. Wir wollen den Beweis dieses Satzes vollständig ausführen. Nach diesem Muster wird cs nichr schwer sein, auch die Be weise der folgenden §. §. auszuarbeitcn. Beweis. Es sei P.: L ^ 6 : v, so ist zu beweisen, 1) daß L. P L 0 : 6 P v; 2) daß L:^PL---V:6PV. Nach §.20. ist ^ : 0 --- U : v. Hieraus folgt nach §. 7.: und L:V---^PL:0PV. Aus der ersten dieser beiden Proportionen folgt wieder nach §. 20. L --- 0 : 6 P v; welches die erste zu erweisende Proportion war. Aus der zweiten folgt ebenfalls nach §. 20.: welches die zweite zu erweisende Proportion war. > ! - S