100 Zehnter Abschnitt. soll, und jede zwei auf einander folgenden Theilpunkte durch eine Sehne verbinden. Der Beweis, daß die so entstandene Figur regulär sei, ist äußerst leicht, und beruhet in Ansehung der Seiten unmittelbar aus der Zeichnung, in Ansehung der Winkel aus VI, 19. o. In Fig. 106. ist auf diese Art ein reguläres Fünfeck in den Kreis beschrieben. Anmerkung. Zur Hebung sind folgende Zeichnungen im UcbungS hefte zu machen: 1) in einem und demselben Kreise geome trisch ein Dreieck, Sechseck und Zwölfeck; 2) in einem anderen Kreise geometrisch ein Viereck, Achteck und Sechzehneck; 3) in einem dritten Kreise mechanisch ein Fünfeck und Zehneck; 4) in einem vierten Kreise mechanisch ein Siebeneck; und 5) in einem fünften Kreise ein Neuneck. 8-4. Aufgabe. Um eine reguläre Figur einen Kreis zu beschreiben. Auflösung. Ist tILOOD Fig. 106.- eine gegebene reguläre Figur, um welche ein Kreis beschrieben werden soll; so halbire man zwei an einer Seite liegende Polygonwinkel, bei V und bei L, und ziehe die Theilungslinien bis zu ihrem Durchschnitt i?; so läßt sich erweisen, daß ein aus I' durch V beschriebener Kreis auch durch alle übrigen Winkelspitzen gehe, was die Auf gabe verlangt. Anleitung zum Beweise. Es ist zu beweisen, daß 1? von allen Winkelspitzen der Figur gleich weit abstehe. Zu dem Ende betrachte man zuerst das Dreieck Vergleicht man die Art, wie es entstanden ist, mit K. 1. und mit III, 9., so ergiebt sich, daß 1'^. --- HZ. Nun ziehe man I'O und ver gleiche die Dreiecke und 1?IZ0; so läßt sich ihre Congruenz aus III, 6. beweisen. Hieraus folgt: u) daß I'O — 1?^ (also auch — HZ); b) daß der Winkel LEV durch die Linie halbirt sei. Zieht man weiter H), so läßt sich auf ähnliche Art die Con gruenz der Dreiecke I'OL und I'OO beweisen, und es lassen sich auch ähnliche Folgerungen daraus ableiten. Da man nun diese Schlüsse ringsherum durch die ganze Figur fortsetzen kann, so ist die Gleichheit aller aus I? nach den Ecken gezogenen Linien erwiesen. Anmerkung. Es wird im Uebungsheft nur um ein gleich fettiges Dreieck, das man nach II, 8. gezeichnet hat, und um ein Quadrat (IV, 13.) ein Kreis zu beschreiben sein. Außer dem kann eine der bei dem vorigem K. eonstruirten Figuren