24 Das Transportproblem unter den Nebenbedingungen n Z x i} = üi ; 1=1 i = 1, 2, . . ., m (3.3a) m X ij = ’ i=l 7 = 1,2,.. . , n (3.3b) und den Nichtnegativitätsforderungen x i} =? 0 ; i = 1, 2, . . ., m ; j — 1, 2, . . ., n . (3.4) Die durch (3.3 a) und (3.3 b) gegebenen Nebenbedingungen der Aufgabe bilden ein lineares Gleichungssystem aus m + n Gleichungen mit m ■ n Unbekannten. Wir werden sogleich zeigen, daß auf Grund der Gleichgewichtsbedingung (3.1) eine dieser Gleichungen überflüssig ist. Durch Addition der letzten (m — 1) Gleichungen von (3.3a) erhalten wir m n m Z Z = 2 a i- (3.5) i=2j=l i=2 Die Addition sämtlicher Gleichungen (3.3 b) liefert m n n Z Z *ij = 2 bj- (3.6) i=lj=l j=l Subtrahieren wir nun (3.5) von (3.6), dann ergibt sich m n m n n m 2 2 -22 x a = 2 b j- 2 a i 4=11=1 4=21=1 1 = 1 i=2 oder n nm 2 x n = 2 bj - 2 a i ■ 1 = 1 1=1 »=2 Da nun aus (3.1) sofort n m 2 bj — 2 a i = a i j=l 4=2 folgt, erhalten wir daraus 2 x ±j = dj . (3.7) 1=1 Das ist aber gerade die erste Gleichung von (3.3a) für i = 1. Wir haben somit bewiesen: Wenn die letzten (m — 1) Gleichungen von (3.3a) und die Gleichungen (3.3 b) erfüllt sind, dann ist auch die erste Gleichung von (3.3 a) erfüllt. Die erste Gleichung von (3.3a) ist also von den übrigen (m + n — 1) Gleichungen linear abhängig. Ebenso kann gezeigt werden, daß jede Gleichung von (3.3a) oder (3.3b) von den übrigen (m + n — 1) Gleichungen abhängig ist. In der allgemeinen Theorie der linearen Optimierung bezeichnet man ein System von nichtnegativen Unbekannten, das die Nebenbedingungen erfüllt,
