von zu transportierenden Mengeneinheiten ausdrücken. Das gelingt auf Grund der Proportionalitätsvoraussetzung für die Transportkosten. Der Transport einer Einheit vom Ausgangsort i zum Bestimmungsort j kostet Zahlungs einheiten. Der Transport von a:,-- Mengeneinheiten kostet somit Zah lungseinheiten . Bei Berücksichtigung aller Ausgangsorte und aller Be stimmungsorte erhalten wir deshalb die Gesamttransportkosten durch Sum mierung über i und über j zu m n 2 C^j X{j . i = l j = l Die Unbekannten x^ sind nun aber noch so einzuschränken, daß sie den Ge gebenheiten der vorliegenden Aufgabe gerecht werden. Da nach Voraus setzung — siehe (3.1) — der Gesamtvorrat gleich dem Gesamtbedarf ist, muß zur allseitigen Deckung des Bedarfs von jedem Ausgangsort genau die dort vorrätige Menge abtransportiert werden. Betrachten wir also bei vorläufig festgehaltenem i den Ausgangsort i, dann werden von ihm nach Definition alle die Anzahlen von Mengeneinheiten abtransportiert, deren erster Index i ist. Für jeden Ausgangsort muß somit gelten: n x n + x i2 + • • • + x in = z Xij = a t ; i = 1, 2, . . . , m . 3=1 Fernerhin muß dafür gesorgt werden, daß jeder Bestimmungsort die benötigte Anzahl von Mengeneinheiten erhält. Betrachten wir bei vorläufig festgehalte nem j den beliebigen Bestimmungsort j. dann erhält dieser alle die Anzahlen von Mengeneinheiten, deren zweiter Index j ist. Für jeden Bestimmungsort muß deshalb gelten: m 4- 4 - * * * 4~ x m j 2_, bj , j 1, 2, .. . , n . »=i Da auf Grund ihrer praktischen Bedeutung die x i} gewiß nicht negativ sein können, müssen noch die Bedingungen x ij r- 0 ! f = 1, 2, . . ., m; j — 1, 2, . . . , n erfüllt sein. Damit haben wir alle für das vorliegende Problem wichtigen Zusammenhänge als mathematische Beziehungen dargestellt, und alle diese Beziehungen sind linear. Das zu unserer Aufgabe gehörige lineare Optimierungsproblem lautet somit: Minimiere die Gesamttransportkosten m n z = ZSc ijXij (3.2) 1=1j=l
