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246 4. Mechanik. einer Kraft P, deren Componenten in Richtung von cZsj, <üs 2 , cls 3 bezw. Pi, -P 2 , P 3 sind, so ergiebt sich, unabhängig von dem Normal widerstande N und der Reibung Nf die Gleichung -p d 3 1 i | / 0-^1 I 2 _l_ j / ^-^3 / 2 p 1/p“ ^ *3° p / /2 0 äl 3l+ /2 0^ ä3-PlKjBl , 0 2l ’ Pl21 0 - E?, + v, ä'| + • ■■ — v. P ä' 3 2 - -Pa di 03a 03a 0_?_ p n ' ’3, 0g;( , ^3 Eine zweite Gleichung für die Geschwindigkeit F folgt in der Form: 1 —P ( 0 (jp Fp 0 (p 0 <jP 89, * + eiT* + 89. i 4 ' 1 )- 0 - Die Anwendung dieser Gleichungen in Verbindung mit den LAGEANGB’schen wird an dem Beispiele der Bewegung eines schweren Massenpunktes auf einem Kreiscylinder mit vertiealer Axe erläutert. Lp. E. Koebke. Beiträge zur Untersuchung der Bewegung eines schweren Punktes auf einer Rotationsfläche. 8°. 46 S. Diss. Halle, Berlin, L. Simion, 1892+. Der Verf. discutirt im ersten Paragraphen das JACOBi’sche Problem der Bewegung eines Punktes auf einer beliebigen Rota tionsfläche für den Fall, dass eine Kräftefunction besteht, welche die Zeit nicht enthält und in den Parallel kreisen constant ist, wenn die Schwerkraft als einzig wirkende Kraft angenommen ist. Im Wesentlichen werden hierbei die bezüglichen Betrachtungen wiederholt, welche Stäckel in seiner Dissertation (diese Ber. 41 [1], 222—223, 1885) über die Bewegung eines Punktes auf einer Fläche angestellt hat; auch die Untersuchungen von Staude (u. a. Acta Math. 11; diese Ber. 44 [1], 187—188, 1888) werden dabei benutzt. Die folgenden Paragraphen wenden sich der Bearbeitung zweier speciellen Probleme zu. Für den Fall der reibungslosen Bewegung eines schweren materiellen Punktes auf einer Rotations fläche mit vertiealer Axe hat Kobb (Acta Math. 10; diese Ber. 43 [1], 227—229, 1887) gezeigt, dass bei fünf verschiedenen Flächen die Integration der Differentialgleichungen der Bewegung auf elliptische Transcendenten führt. Ist die z - Axe vertical, r 2 = x 2 -+- y 2 , so sind die Gleichungen der beiden letzten Flächen: 1) 3 ar 2 z 2 (z— a) = 0, 2) 2r 4 -j-3a 2 r 2 — 2 «V = 0. Da für dieselben bisher die Specialuntersuchung noch nicht gemacht