A. Harnack. Existenzbeweise zur Theorie des Potentiales in der Ebene und im Raume. Leipz. Ber. 1886, i44-iG9f. Der Beweis der OREEx’schen Formel für das Potential und damit der Beweis für das sogenannte DiRiciiLET’sche Princip wird liier zuerst für die Ebene durchgeführt, dann auf den Raum über tragen. Da der Gang der Entwickelung für beide Fälle derselbe ist, so beschränken wir uns hier darauf, die Hauptpunkte des Be weises für den Raum wiederzugeben. Vorangeschickt wird Folgen des: 1) Eine Funktion u, die im Innern eines Raumes T nebst ihren Ableitungen eindeutig und stetig ist, dort der Gleichung du = 0 genügt und an der Begrenzung vorgeschriebene Werthe U annimmt, wird als harmonische Funktion bezeichnet. Die Existenz einer harmonischen Funktion kann nach den Arbeiten von C. Neu mann und H. A. Schwarz für das Innere jedes von Ebenen be grenzten Polyeders als bewiesen vorausgesetzt werden. Dasselbe gilt demnach auch für die zu einem beliebigen Punkte 0 im Innern des Polyeders gehörige GREEN’sche Funktion. 2) Eine im Innern eines Raumes T harmonische Funktion kann in eine nach Kugel funktionen fortschreitende Reihe entwickelt werden; und zwar gilt die Entwickelung für das Innere einer um einen beliebigen Punkt von T beschriebenen Kugel, falls nur die Kugel ganz in T liegt. Aus der genannten Entwickelung ergiebt sich für u die Integral darstellung H-—o- r U k da U ~ dnR J P ’ für die man auch schreiben kann Hier stellt U k die Werthe von u auf der Kugel mit dem Radius R dar, da das Flächenelement der Kugel, (da) x den Raumwinkel, unter welchem das Flächonelement da von dem betrachteten, im Innern der Kugel liegenden Punkte x, y, z erscheint; endlich ist o die Entfernung dieses Punktes vom Kugelmittelpunkt, l seine Entfernung von da. Für den Werth von u im Mittelpunkte der Kugel folgt daraus
