Litteratur. v. Hklmholtz. 15 1b. Maas« und Messen. H. v. HELMHOLTZ. Zahlen und Messen erkenntniss- theoretisch betrachtet. Aus „Philosophische Aufsätze, E. Zeller gewidmet“, Leipzig: Fuess 1887, 52 pp. Der Verfasser fasst die Zahlen zunächst als Zeichen, welche keine weitere Eigenschaft besitzen, als die, eine bestimmte, ein für allemal eingelernte Reihenfolge zu haben. Er zeigt, dass sich für die Operationen mit den so gedachten Zahlen dieselben Grund sätze aufstellen lassen, welche als Axiome in der Lehre von den Anzahlen gelten. Er untersucht dann, was es heisst, wenn wir zwei Objecte in physischem Sinne für gleich erklären und welchen Character ihre Verknüpfung haben muss, damit ihre vergleich baren Attribute additiv, als Grössen, miteinander verknüpft werden können. Durch irgend ein Verfahren, das Vergleichsverfahren, stellen wir fest, dass zwei Objecte unter geeigneten Bedingungen einen Erfolg beobachten lassen, der zwischen anderen Paaren ähn licher Objecte nicht eintritt. Vertauscht man die Objecte mit einander, so muss der Gleichheitserfolg bestehen bleiben; lässt sich das nicht erreichen, so ist das Vergleichsverfahren unbrauchbar. Der Satz von der Gleichartigkeit von Summe und Summanden läuft darauf hinaus, dass für alle Schritte der Untersuchung ein- und dasselbe Vergleichsverfahren benutzt werden muss. Eine physische Verknüpfung gleichartiger Grössen kann dann als Addition angesehen werden, wenn das Ergebniss der Ver knüpfung weder durch Vertauschung der Elemente noch durch Substitution gleicher Elemente statt der gebrauchten geändert wird. (Beispiel: Zwei elektrische Widerstände werden durch Hinterein anderlegen, zwei Leitungsfähigkeiten durch H ebeneinanderlegen der betreffenden Drähte addirt.) Es folgen Untersuchungen über Theilbarkeit und Einheiten, über Addition ungleichartiger Grössen und Multiplication benannter