iudex, a die halbe Oeffuung der Linse, F ihre Brennweite, /', die vordere Brennweite der ersten Fläche, x t und x die Entfernungen des leuchtenden Punktes von den vorderen Hauptbrennpunkten der ersten Fläche und der ganzen Linse. Aus diesen Resultaten werden die Werthe für die Krüm mungsradien einer Linse von gegebener Brennweite unter der Bedingung abgeleitet, dass die sphärische Aberration ein Mini mum sei. Sie sind gegeben durch: n — 1 1 ~t - tt \ n — 1 1 -f- o wenn darin gesetzt wird ?i(2x + l) x+F a n~—1 O/.. i .IN V “ .. i O ’ 2(« + 2) F w-t-2 n(2n -4-1') y -f- F „ n'— 1 20h-2) F n-i-2 und s die Dicke der Linse, y den Abstand des Bildpunktes vom hinteren Brennpunkt bedeutet. Der Verfasser zieht aus diesen Entwicklungen folgende Schlüsse: 1. Wenn man die Lage von Objekt und Bild vertauscht, so bleibt die Bedingung für das Minimum der Aberration dieselbe; doch ist die Grösse der Aberration im allgemeinen für die beiden Fälle verschieden und nur gleich, wenn x = y. 2. Die stärker gekrümmte Fläche muss immer nach dem jenigen der beiden conjugirten Punkte gerichtet sein, der am weitesten von ihr absteht. 3. Die Krümmung der Flächen, welche ein Minimum der Aberration ergiebt, hängt ab vom Ort des abzubildenden Objektes, muss also verschieden gewählt werden, je nach dem Zweck, dem die Linse dienen soll. Für ein unendlich entferntes Objekt muss >,aa - * ,l(2«+ 1) Linse biconvex oder biconcav sein, je nach dem F + oder —;