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Hülsenstangen OH und O’H wird bei der folgenden Unter suchung vernachlässigt. Gleichgewichtsgleichung. Lautet die Gleichung der Curve MAM,, bezogen auf das Coordinatensystem yAx y — f (x), bezeichnet ferner G das Gewicht je einer Schwung- kugel, o die Winkelgeschwindigkeit des Regulators, v die absolute Peripheriegeschwindigkeit der Schwungkugeln und g die Acceleration der Schwere, so gilt die Gleichgewichtsgleichung dx . Centrifugalkraft F 0 co'y co'y v2 1) — — tg C — — — —— — — — — — ‘ dy Kugelgewicht G G g gy welche auch geschrieben werden kann co* dx 1 1 , = —= c. , 1. = =f= oder g y dy Subnormale nt V _ ydx _ Subtangente = ft. 8 dy In Worte gefasst lautet letztere Gleichung : Die der Peripheriegeschwindigkeit der Kugeln entspre chende Fallhöhe ist gleich der halben Subtangente. Stabilitätsbedingung. Verschiebt inan die Schwung kugel bei gleich bleibender Tourenzahl aus der Gleichgewichts lage in 0 nach a oder b (Fig. 2), so wird die Resultirende aus Centrifugalkraft und Kugelgewicht im Allgemeinen nicht mehr senkrecht auf der Leitcurve stehen, sondern etwa nach aa’ oder bb’ gerichtet sein. Soll der Regulator nach erfolgter Verrückung in die ursprüngliche Gleichgewichtslage zurückstreben, so müssen die nach den Tangenten genommenen Seitenkräfte T, und T s , wie es in der Figur angedeutet ist, nach der anfänglichen Gleichgewichtslage in 0 hinwirken. Hält man die in der Figur eingetragenen Bezeichnungen fest und nennt ferner s, s, und s, die Subnormalen nf, n,f n,f, und c, 0,, die Winkelgeschwindigkeiten, welche für das Gleichgewicht den Kugelstellungen in a und b entsprechen, so ergeben sich für die Tangentialkräfte T, und T, die Ausdrücke T. — G sin a. co. 2 y, cos «, ö G T, — —- 60, 2 Y, cos « — G sin a, 8 oder mit Benützung der Gleichung 1) 2) T, = Gy, cos«, t“-te]_Gy,cos«1—1 L J1 J -1 L P Sr J =0*,c05*[*-2] 3) T, = Gy, Cosa, [- ^J^Gy^osa, [1 1] rc,2 = G Y.cos a„ — - * ' er O I L ö © J Die Stabilität der Gleichgewichtslage in 0 erfordert, dass die Tangentialkräfte T, und T, positiv seien; aus den Gleichungen 2) und 3) folgt aber, dass dies der Fall ist, wenn die Beziehungen Geltung haben: s, < s < s, oder o, > co > co 2 . Die Stabilitätsbedingung lautet daher: Ein Regulator ohne Gegengewicht ist dann stabil, wenn den von der Drehungsachse entfernteren Stellungen die klei = Gycos« d 4) dT = G y cosa d cos « d = Gy cosa d neren Subnormalen resp. für das Gleichgewicht die grösseren Tourenzahlen entsprechen. Ein Gleiches folgt, wenn man von den endlichen auf unendlich kleine Verrückungen übergeht; in diesem Falle werden die wachgerufenen Tangentialkräfte unendlich klein, und man erhält anstatt der Bestimmungsgleichungen 2) und 3) die Differenzialgleichung dT Die Stabilität erfordert, dass . positiv sei. Dieser Bedin- dy d (4-) gung wird nach Gleichung 4) Genüge geleistet, wenn — ds dy positiv, resp. -— negativ ist, d. i. wenn mit wachsenden y dy do die Subnormalen abnehmen oder wenn dy positiv ist, d. i. wenn den von der Drehungsachse entfernteren Stellungen für das Gleichgewicht die grösseren Tourenzahlen entsprechen. Führt man die in Gleichung 4) angedeutete Differenzia tion durch, so erhält man d'x dy 2 dT c d (^-) c - — — G y cos « —XM — G cos « dy dy woraus die Stabilitätsbedingung folgt 5) d'x dx dy? > ydy In gleicher Weise ist zu schliessen, dass die Gleichgewichts lage indifferent oder labil sei, d'x dx , d'x dx . , wenn —1.2 = — oder —2 < —1. ist. dy 2 ydy dy 2 ydy Graphische Darstellung. Der zweite Differenzial- d‘x quotient dy? lässt sich mit Hilfe des Krümmungsradius Q einfach construiren. Es ist nämlich r , ax ., ,3/ 3/ d‘x__[1 2 _ - (i+tg 2 «i 1 dy 2 0 pp cos’a Ist in Fig. 3) OG der Krümmungsradius (zu bemerken ist, dass derselbe in der Zeichnung an sich negativ ist, also p = — OC), so stellt, wenn OG-LAX,, hg_LOC und hkLCg gemacht wird, CK das OCcos 3 « dar, danach ist Ck= —p cos’a und dx__1. Der Ausdruck dX ist der reciproke Werth dy Ck dx 1 ydy der Subnormale •—, . y dy nl Soll der Regulator in seiner Stellung 0 stabil sein, so muss nach Obigem 1 > 1. oder Ck < nf sein. Ck nf Beispiele. Der Watt’sche Regulator. Bei demselben ist die j Curve, an welche die Kugel gebunden ist, ein Kreisbogen. Die Aufhängung erfolgt entweder in der Achse (Fig. 4) oder seitlich von derselben bei offenen Aufhängestangen (Fig. 5). Dass der Watt’sche Regulator in allen seinen Stellungen sta bil sei, geht aus der Figur klar hervor, indem den von der Drehachse entfernteren Stellungen die kleineren Subnormalen 6