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X !/ — h z — k m P q möge in R ein Strahl S X y— H _ Z—K 31 ~ p Q entsprechen und umgekehrt. Unter der Annahme, dass jedesmal, wenn ein Strahlenbüschel in r zugleich Normalenschaar einer Fläche ist, diese Eigenschaft auch dem entsprechenden Büschel in R zukomme, gelten folgende Sätze: Die Functionaldeterminante _ a(B,x,p, 0 8(A, fc, p, q) ist eine für die Abbildung charakteristische Constante, und wenn man, mit n und N Constanten bezeichnend, = n : N setzt, so giebt es vier Functionen: T(h,k,H,K), U(h,k,P,Q), V(p,q,H,K), W(p,q,P,Q), deren jede die Abbildung vollständig bestimmt, und zwar gemäss der vier Gleichungssysteme: — P = dT 8 T , p — dT Q = dT 8 (n h)' — q — c (m k) d(NH) ’ d(^NK)’ dU dU , NH = 817 NK = dU p — d(nh)’ q — d(n k) dP ’ dQ ’ nh = d V nk — dV , -P = 8 V Q = 87 dp ' dq d(NHy 8 (NX)’ —nh= 8 W — nk — d 17 , NH = 8 17 NK = 8 17 dp ’ 8<Z dP ’ dQ ’ welche besagen, dass zwischen den Grössen nh, nk, p, q und NH, NK, P, Q eine Berührungstransformation besteht. Theilt man die Theorie der optischen Instrumente (Linsen- und Prismensysteme) in zwei grosse Abschnitte, je nachdem der Astigmatismus der Strahlenbüschel vernachlässigt oder berück- sichtigt wird (erste resp. zweite Annäherung), so sind bei erster Annäherung alle Beziehungen zwischen Object und Bild in dem einen Satze enthalten, dass Object und Bild zu einander collinear sind. Bei der zweiten Annäherung tritt an Stelle dieses Satzes der obige von der Berührungstransformation. Cty.