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Ist der Versuch gelungen, so hat man das Vier eck ABCD in das Trapez ABcd von der Höhe yx x verwandelt. 4. Verwandlung einer gebrochenen Be- gränzungslinie in eineGerade, (Ausgleichs gerade). Fig. 8. Das Polygon ABCDEFG sei z. 13. der Querschnitt eines Einschnittes, also GDEFG, die gebrochene Terrainlinie, welche durch eine Gerade zu dem Zwecke ersetzt werden soll, um statt des Poly gons ein Viereck für die Berechnung zu erhalten Da diese in der praktischen Geometrie häufig vorkom mende Aufgabe allgemein bekannt sein dürfte, so wäre eine Erörterung der Auflösung überflüssig. In sehr vielen Fällen wird es genügen, die Ausgleichsgerade nach dem Augenmasse zu bestimmen. A. Anwendung für das generelle Project. I. Kubatur der Dämme und Einschnitte. 1. In jenen häufigen Fällen, wo die Durchschnitts linie des Bahnprofils mit dem natürlichen Terrain, das sogenannte Querprofil, entweder horizontal oder gleich mässig geneigt ist, kann man die körperlichen Inhalte oder die Massen direkt bestimmen, ohne erst die Flächen der einzelnen Profile berechnen zu müssen. In beiden Fällen wollen wir annehmen, dass die Böschung zu beiden Seiten des Dammes oder Ein schnittes eine gleichfüssige ist. Im ersten Falle, wo jene Durchschnittslinie hori zontal ist, lässt sich für den Flächeninhalt F der Dainm- und Einschnittsquerschnitte von der Form Fig. 9 und Fig. 10 die Formel aufstellen: F = bh -J- mh 2 + g . . . .1) In dieser Gleichung bedeuten: b die Planiebreite des Dammes oder die Sohlen breite des Einschnittes AB, gemessen in der Schotter unterkante. ä die Auf- oder Abtragscote ebenfalls bis zur Schotterunterkante gerechnet. wi die Dossirungszahl der Böschungen. g die Flächen Aacb und Bcd der Seitengräben bei Einschnitten. Im zweiten Falle, wenn das Terrain seitlich stark geneigt ist, wie in Fig. 11, lässt sich für derartige Querschnitte auf folgende Weise eine allgemeine For mel finden. Sei ABEF ■= F =bh mit 2 , ferner ABCD — f die zu berechnende Fläche, p ■ 1 das Gefällsverhältniss des Terrains, d. i. auf p Einheiten Länge falle das Terrain 1 Einheit. Verlängern wir die horizontale E'G, und errichten in c und E die Senkrechten IIC = y und EK = g, bezeichnen ferner HE mit x, so ist: x — my, x + EG = py, daher y = • p — m Auf ähnliche Weise folgt aus dem Dreiecke DFG der Werth von EG P + m Es ist aber Fläche ABCD — ABEF + EOG — FDG oder y - ± GF. y { , Wegen Gleichheit von GF—EG kann man auch schreiben: f=F+^-EG (y — y t ). Setzt man in letztere Gleichung die Werthe von y und y x aus Gleichung (2) und (3) ein, so erhält man: Nun ist aber EG = ——|- mh, somit b 2 EG 2 = ~+m Q)h + mh 2 ) und wenn man für bh-\-mh 2 dessen Werth = F einsetzt, —- b 2 EG 2 ~ + mF- 4 somit F + s + mF) p 2 — m~ \ 4 / oder auch = F (1 1 + — —— • \ p~ — m 2 / 1 4m p 2 — m 2 Setzen wir 7; = a. (2), p~ — m~ so erhalten wir /■=(l + «)F + £« (3). In dieser Gleichung ist — eine constante Grösse 4 m und nichts anderes, als die Fläche jenes Dreieckes, welches man erhält, wenn man die Böschungslinie des Bahndammes oder Einschnittes soweit verlängert, bis sie sich in einem Punkte schneiden, also in Fig. 11 des Dreieckes ABL, worauf wir noch später zurück kommen werden. Die Grösse a ist von der Dossirungs zahl und der Terrainneigung abhängig, und eine vari able Grösse. Inder beigeführten Tabelle sind für die einzelnen Fälle die Werthe von a. berechnet, und können daher direkt fürdie Anwendung hieraus entnommen werden. Es lässt sich also der zweite Fall auf den ersten zurückführen, und somit die Flächenberechnung nach der Gleichung 1) f= [bh -j- mh 2 ] (1 4- a) ausführen, wenn man zuletzt noch den Werth des Ausdruckes -r~ .a hinzuaddirt. 4 m Sind nun Z,, Z 2 , Z 3 , Z 4 u. s. f. die Distanzen der nacheinanderfolgenden Querschnitte, so ist der Kubik inhalt des betreffenden Bahnkörpers, den wir mit M be zeichnen wollen, annähernd gleich M = S fl. Sehen wir vorläufig von dem Koefficienten (1 -f- a) ab, so ist, weil b und m constant sind, M = Efl — bEblA-mEh 2 l. . . .(4). Aus dieser Gleichung ergibt sich sofort folgendes Verfahren: 1. Man planimetrirt das aus dem Schichtenplane excerpirte Längenprofil mit einem guten Planimeter, multiplizirt die erhaltene Fläche mit der Planiebreite
