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grossem Vortheile angewendet wird; weshalb ich glaube, dass der nachfolgende Aufsatz nicht ganz verfehlt sein dürfte, um auch die Aufmerksamkeit jener der älteren Schule angehörenden Fachgenossen auf eine Methode zu lenken, welche trotz ihrer Einfachheit und Kürze vielleicht noch wenig Eingang gefunden zu haben scheint. Die für die grafische Kubatur nothwendigen Kon struktionen sind folgende: 1. Die grafische Multiplication: Ist das Produkt f von zwei Grössen a und Z», also f = ab zu bestimmen, so trage man auf eine als Abszissenaxe ge wählte Gerade XY die Strecke AB = a, und in A die Ordinate AC — b auf; in der Entfernung AD = 1 ziehe man die zu XY parallele Gerade JLZV, welche wir all gemein die Coeffizientenlinie nennen wollen; führt man nun CB parallel zur Verbindungslinie DB, so ist AE = f = a.b (Fig. 1. und 2.) Denn es verhalten sich AB : AD = AE: AO, woraus f —a.b folgt. Zieht man MN (statt in der Entfernung 1) in der Entfernung m oder —, so ist im ersten Falle m AE — - ' b - und im zweiten Falle AE — a.b.m. m 2. Das grafische Quadriren. Ist in der vorigen Aufgabe a — b, so wird AE = f—a.b = a z , Die Konstruktion bleibt also dieselbe. Zieht man wieder MN (statt in der Entfernung 1) in der Entfernung m oder —, so wird AE — — m m oder AE = m. a“. sich BD : DF — AE : AO, woraus im und im 2. der Ecke 3. Grafische Flächenbestimmung. «) Das Dreieck ABC (Anschnittsform Bahnkörper) Fig. 3. Man errichte in einer des Dreieckes, z. B. in A auf die Basis AO eine Senk rechte AE von der Länge — 2 oder 20 Einheiten und ziehe BF parallel zu EC. Dann ist DF = dem 1 fachen oder „fachen Flächeinhalte des Dreieckes ABC, denn es verhalten 1. Falle DB.AC f > -2Ö- = Tö * DB.AO , _ DF = - = f folgt, Diese Construction wurde hier bloss der Vollstän digkeit halber angeführt; denn es ist kürzer, das reine Dreieck mit Massstab und Zirkel direct auszumessen und zu berechnen, als auf jede andere Weise. b) Das Trapez ABDO (Dammprofil) Fig. 4. Bedingung. Die Seiten AO und BD sind zur Basis gleichfüssig geböscht. Sei XY die Axe, (Bahnkörperquerschnittsaxe) welche also das Trapez in zwei gleiche Theile trennt, OB eine durch die Kante B der Dammkrone zu XY parallel gezogene Linie, MN eine in der Entfernung von z. B. 10 Einheiten von der Axe zu dieser parallel gezogene Hilfslinie (Coefficientenlinie). Zieht man vom Dammfusse C (entgegengesetzt zu B) die Linie Co parallel zu nx, so ist po — dem zehnten Theile des Flächeninhaltes der trapezförmigen Dammfläche AB CD. Denn es verhalten sich wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke Cop und nxy op •. Cp — xy : ny, woraus, wenn wir xy = h (Dammhöhe) setzen, op = (Cai + wp) folgt. Nun ist n , AB+ CD . , Cm mp = ; daher AB + CD li f op = 2 10 = TÖ’ wenn f den Flächeninhalt des Trapezes ABCD bedeutet. c) Das Trapez ABCD (Einschnittsform) Fig.5. Bedingung: Gleichgeböschte Seiten wie vor hin. Seien XY, MN dieselben Linien wie vorhin, OB gezogen durch die Sohlenkante B. f Man ziehe Dp parallel zu ny, so ist op — wie im vorigen Beispiele. d) Das unregelmässige Viereck. «. Allgemeiner Fall (Fig. 6). Beschreibt man von einer Ecke des Viereckes AB CD z. B. von B mit dem Halbmesser von 10 oder 20 Masseinheiten den Kreisbogen MN, legt man ferner von der B gegenüber liegenden Ecke D eine Tangente XY an jenen Kreis bogen und zieht man nun von den beiden anderen Ecken A, C, die zur Diagonale BD parallelen Linien AE und CF, so hat man von der Tangente das Stück EF abgeschnitten, welches gleich ist dem ’/ 5 fachen oder dem 'I, „fachen Flächeninhalte des Viereckes AB CD. Denn denkt man sich E mit B und F mit B verbunden, so ist wegen der Gleichheit der Dreiecke EAD und ADB einerseits, und DBC und DBF ander seits das Viereck ABCD — dem Dreiecke EBF, dessen Höhe vermittelst des Kreisbogens und der an denselben gelegten Tangente =10 oder 20 Einheiten gemacht wurde; somit ist EBF — ABCD =: — 5.EF EFX 20 im ersten, und —- — 10. FF im zweiten Falle. ß. Spezieller Fall. Ist das unregelmässige Viereck auf 2 Seiten zur Horizontalen gleichfüssig ge böscht, wie in Fig. 7., so kann man einen solchen Fall auf das Trapez Fig. 4 oder Fig. 5 zurückführen, und dann die Fläche f construiren. Besitzen nämlich die Seiten AO und BD dasselbe Böschungs-Verhältniss, ist XY die Bahnvertikalaxe, und führen wir durch den Schnittpunkt x dieser Axe mit CD eine Horizontale ab, so entstehen dadurch die Dreiecke Cax und xDb, von denen Cax das grössere sein wird. Die Linie ab ist daher noch keine Ausgleichsgerade; die letztere wird aber unter der ersteren liegen müssen. Zieht man nun nach dem Augenmasse eine Parallele zu ab, z. B. die cd, so hat man zu untersuchen, ob die gerade Ver bindungslinien cD und Cd einander parallel sind oder nicht; im ersten Falle ist cd die wirkliche Ausgleichs gerade; im zweiten muss der Versuch wiederholt werden. Indessen wird man kaum mehr als einmal oder zwei mal selbst bei sehr steiler Basis den Versuch wieder holen müssen. 12*
