Ueber die ultra-elliptischen Functionen zweier Variabler. 9 genau dieselben, wie die aus der Differentiation der Glei chungen (2) u = n [x) + n (y), «, = n t [x) + n, (y). hervorgehenden. Capitel I. Ueber die dreifach periodischen Functionen. 1. Die gebrochenen Ausdrücke der dreifach periodischen Functionen, welche die Inversen der elliptischen Integrale dritter Gattung sind, fliessen, ohne die mindeste Rechnung, aus den Gleichungen, deren sich Jacobi in seinen Vorlesungen bediente, um von den Reihen II und 0 zu den elliptischen Integralen erster Gattung überzugehen. Es wird demnach ange messen sein, hier in wenig Worten die Entwickelung jener Gleichungen zu geben, und dies um so mehr, als ihre Kennt- niss die Lösung des analogen Problems über die ultra-ellip tischen Integrale erster Klasse auch bedeutend erleichtert. Zur Abkürzung der Formeln werde ich Gebrauch machen von den durch Jacobi in seinen Vorlesungen benutzten Zeichen und setzen [368] (6) n _ + co n n z 2 n v 2v — 2 v J(v,q)= 1 (—1 )qe =1— q[e + e ) n = — oo 4.4® - 4® 9.6« — 6» + q [e + e ) — q(e+e j + . . . (2m+ 1)2 % = + 00 (2n + l)® i v —v + (»,?) = 2 (—1)? 4 e =f( e —e ) 11 = — 00 £.3® — 3®. , 25, 5« —5® — q'[e —e ) + q (e — e ) + ... n= + oc G« + 1)2 (2 „ +]) , 1 „ ^* (»,?)= 2 q 4 e =q [e +e ) n =— co 9 . 3® —3® 25 5d — 5® + q' (e + e ) + q ' (e + e ) + ... w= + 00 » 2 2 n® 2® —2® (»,<?)= ^ (J e =1 +q[e +e ) 11 = —CO 4 .4®. — 4®. 9 6® — 6® 4 + q [e +e ) + q [e +e )+-..