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157 XI. Jahrgang. „ELEKTROTECHNISCHE RUNDSCHAU.“ No. 18. 1893/94. -3. a) fab, m die zwei -Settertvek-toren gleiche Grosse haben. In diesem Fall hat die Resultierende eine unveränderliche Hichtung. In der That ist alsdann oA (Fig. 3) jederzeit die Halbierungslinie des Fig. 3. Winkels sod; und da od und os mit derselben Winkelgeschwindig keit, die eine nach rechts, die andere nach links rotiert, so bleibt oA unverändert an seiner Stelle. Dagegen verändert sich der Wert der Resultierenden immerwährend, wobei die Beziehung gilt: o A = 2 o d. cos A o d. Setzt man o A = a und 2 o d = A, bezeichnet man ferner die Frequenz (Zahl der Umdrehungen in der Sekunde) mit n, die Zeit (in Sekunden) mit t und den Winkel A o d mit a, wenn t = o, so ist: a = A cos (2 7t n t + a). Eine Größe, welche sich nach diesem Gesetz verändert, wird ge meiniglich eine alternieren de oder harmonisch alternierende oder sinusoidale Größe genannt. Die Konstante A, d. i. der Maximalwert von oA heißt die Amplitude, n die Frequenz, a der Winkelwert der Phase, wenn man als Anfang der Zählung (t=o) den Augenblick wählt, wo a im Maximum ist. Wir nennen daher o A einen alternierenden Vektor und können sagen: Zwei gleiche Vektoren, welche in derselben Ebene, mit derselben Frequenz und in entgegengesetztem Sinne rotieren, ergeben als Resultierende einen Vektor von fester Richtung, der seine Größe in der gleichen Frequenz verändert. Die Richtung dieses Vektors ist die der Halbierungslinie des Winkels, den die beiden Vektoren zu irgend einer Zeit miteinander bilden, also auch die Halbierungslinie des Winkels in dem Augenblick, wo t = o ist. Die Amplitude des resultierenden alternierenden Vektors ist zweimal so groß wie einer der Seitenvektoren. Umgekehrt: Ein sinusoidaler alternierender Vektor kann in zwei rotierende Vektoren von gleicher Größe, aber entgegengesetzter Richtung zerlegt werden. Irgend ein sinusoidaler alternierender Vektor kann in der gleichen Weise als die Resultierende zweier rotierender Vektoren betrachtet werden. — Diese Art der Betrachtung eines alternierenden Vektors führt zu einer sehr einfachen graphischen Darstellung, um durch einen alternierenden Vektor die feste Richtung, die Amplitude und die Phase darzustellen. Das Verfahren besteht darin, daß man drei Strecken zeichnet, wie in Figur 4, von denen die eine o a die Richtung und die Größe der Fig. 4. Amplitude des alternierenden Vektors angiebt, während die Strecken od und os die rotierenden Vektoren bezeichnen, der eine rechts, der andere links um denselben Winkel von oa entfernt. Der alternierende Vektor ist alsdann, wenn die Längen der zwei rotierenden Vektoren gegeben sind, entweder durch den Winkel aod, oder a o s oder sod bestimmt. 4. b) Fall, wo die zwei Seitenvektoren verschiedene Grösse haben. — Wenn die rotierenden Seitenvektoren od und os (Fig. 5) ungleich Fig. 5. sind, so ist nicht bloß die Amplitude, sondern auch die Richtung des resultierenden Vektors veränderlich. Mit dem kleineren Vektor os (Fig. 5) beschreibe den Bogen sF d y . Wir können -mm o-d als die Resultierende der zwei Vektoren od' und d'd betrachten, welche in demselben Sinne rotieren. Es ergeben aber os und od' den resultierenden alternierenden Vektor oa, welcher den Winkel sod halbiert und die Amplitude oa = 2od' = 2os hat. Man erhält also aus den zwei nach entgegengesetzten Richtungen rotierenden, ungleichen Vektoren os und od einen alternierenden Vektor oa von fester Richtung und einen rotierenden Vektor d d'. 5. Zusammensetzung zweier und mehrerer alternierender Vektoren von fester Richtung. — Auf Grund des bisher Dargelegten ist man imstande die Zusammensetzung von alternierenden Vektoren auf die von rotierenden zurückzuführen. Sind z. B. zwei alternierende Vektoren von fester Richtung oasd und o'a's'd' (Fig. 6) gegeben, so können Fig. 6. wir d mit d' und s mit s' in der oben angegebenen W e i se zu zwei Resultierenden zusammensetzen. Um d mit d' zusam m enzusetzen, ziehen wir von einem Punkt 0 eine Strecke O D gleich nnd parallel d, und von D eine Strecke D D' gleich und parallel d'; die Resultierende ist alsdann OD'. Um in derselben Weise s und s' zusamm en zusetzen, mache OS und SS' bezw. parallel s und s'; dann ist OS' die Resultierende. Nun kann man sagen, das System der zwei gegebenen alternierenden Vektoren a und a' sei äquivalent dem Syst em der zwei rotierenden Vektoren OD' und OS'. Auf diese aber können wir die obige Konstruktion anwenden. Ist OD' kleiner als OS', so machen wir OS" = OD' und auf der Halbierungslinie OF des Winkels S'0 D' nehmen wir 0 A = 2 0 D'= 2 O S". Die zwei rotierenden Vektoren 0 D' und OS', und daher auch die zwei ge gebenen alternierenden Vektoren a und a', sind dem alternierenden Vektor OA und dem rotierenden Vektor S'S" äquivalent. Dieser Satz kann ohne Zweifel auf den Fall ausgedehnt werden, wo man eine beliebige Anzahl alternierender Vektoren hat; jedes System alternierender Vektoren von gleicher Frequenz und in der selben Ebene gelegen kann auf ein einfaches System zurückgeführt werden, bestehend aus einem alternierenden Vektor von unverändei’- licher Richtung und aus einem rotierenden Vektor. Das Verfahren unterscheidet sich von dem in Figur 6 dargestellten nur dadurch, daß man es, statt mit den Dreiecken 0 DD' und OSS' mit Polygonen zu thun hat, welche einerseits aus allen Komponenten d und ander seits aus allen Komponenten s zusammengesetzt sind. Es ist wichtig, den Satz auf einige besondere Fälle anzuwenden. 6. Besondere Fälle: a) Alternierende Vektoren, welche dieselbe Richtung haben. I. a' ist parallel a (Fig. 7), die Winkel OSS' und ODD' Fig. 7. sind also einander gleich, ebenso die Dreiecke OSS' und O.DD', sowie OS' und OD'. Außerdem halbiert OA nicht bloß den Winkel S'OD', sondern auch die Winkel S0D und S'S, DD'; auch ist OA parallel o a und oa'. Es ist also die Resultante OA der zwei alternierenden Vektoren a und a' ein alternierender Vektor von unveränderlicher Richtung und ist den Komponenten parallel. Um diese Resultierende zu finden, ist es nicht nötig, alle in Figur 7 ange-