Anmerkungen. 69 wo sich links und rechts je eine Integration sofort ausführen lässt. Damit die so gewonnenen einfachen Integrale einander gleich sind, dürfen — und das war eine bis dahin ganz über sehene Bedingung — die Integranden in dem ganzen Inte grationsgebiete, das als Kechteck in der xy-Ebene aufgefasst werden kann, nirgends unbestimmt werden. Caucky zeigte auch, wie man in gewissen Fällen, in denen Stellen der Unbestimmtheit auftreten, den Unterschied der beiden Integrale bestimmen kann, und kam dabei auf den Begriff der singulären Integrale, den er später (Kesume des legons, Lecon 25 und die 1825 bei der Drucklegung hin zugefügte Note XVIII der Preisschrift vom Jahre 1815) noch etwas erweitert hat. Wird nämlich das unbestimmte Integral von f[x) mit cp[x) bezeichnet, so hat das bestimmte Integral x f{x) dx den Werth <p(X) — <p[% 0 ), sobald f[x) in dem Intervalle (x a ... X) eindeutig, endlich und stetig ist. Wird f[x) für eine Stelle a dieses Intervalles unendlich, so verliert das be stimmte Integral seinen ursprünglichen Sinn, man kann aber jenem Zeichen auch in diesem Falle eine Bedeutung beilegen, indem man definirt, dass alsdann x — lim e=0 sein soll, wo y und v irgend welche positive Gonstanten be deuten. Als Hauptwerth H des Integrales auf der linken Seite bezeichnet Gauchy den Grenzwerth, der sich für y — v = l ergiebt, es ist also V '(*) dx + / fix) dx. und daher Die beiden letzten Integrale nennt Gauchy singuläre Inte grale. Wird f{x) in der Weise unendlich, dass