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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 45 durch ein Sechseck ersetzt. Um die Figur nicht zu überladen, hat man sich darauf beschränkt, nur eins dieser Sechsecke, das jenige, welches den Pol B u umgeben würde, darzustellen. Das System der Homologen von Numfasst alsdann hundert und zwanzig Ecken. Für gewisse besondere Stellungen von S kann sich diese Anzahl auf sechzig, auf zwanzig, ja auf zwölf Ecken redu- ciren. Dieser letzte Fall tritt ein, wenn die Ecke S am Ende einer der quinären Axen des Systems gelegen ist. Satz LV. — Wenn das deceinternäre Polyeder die fünfzehn Symmetrieebenen besitzt, weichein dem vorhergehenden Satze angegeben wurden, so sind diese Ebenen [59] zu den fünfzehn binären Axen nor mal, und das Polyeder besitzt ein Symmetriecentrum. Im entgegengesetzten Falle hat es keines. Es folgt aus dem Beweis des vorhergehenden Satzes, dass die binäre Axe IiOK', Fig. 12, normal zu der Ebene M ?> GMA> : ist. Nun ist aber diese Ebene eine der fünfzehn Symmetrie ebenen des Polyeders, folglich ist jede dieser Ebenen normal zu einer der fünfzehn binären Axen, also besitzt das Polyeder dann ein Symmetriecentrum (Satz XXII). Wenn aber das Polyeder ohne Symmetrieebenen wäre, so könnte es wegen seiner binären Axen kein Symmetriecentrum besitzen (XXI). Satz LVI. —Die decemternären Polyeder haben zwei verschiedene Arten von Symmetrie, je nach dem sie ein Symmetriecentrum besitzen oder nicht. Dies ist eine Folge der Sätze LIY und LY. Die Symbole dieser beiden Arten sind: [6 P 5 , 10P 3 , 15P 2 , 0 C, OP], [6 P 5 , 10P 3 , 15 Iß-, C, 15^ 2 ]. Satz LVII. — Die Axen, welche die Symmetrie der quaterternären Polyeder mit binären rechtwinkeligen Axen charakterisiren, gehen auch in die Symmetrie der decemternären Polyeder ein. Wählen wir einen beliebigen Punkt einer ternären Axe. z. B. A 2 , Fig. 12. Die Mitte G einer der beiden Seiten A t A 0 , A ;i A 4 , welche der in dem Fünfeck A 0 A 1 A 2 A :t A 4 der Ecke A 2 gegenüberliegenden Seite A 0 A 4 anliegen, wird der Endpunkt einer binären Axe sein (Satz LIII). Dasselbe wird der Fall sein mit den Punkten H und K, welche die Homologen von G in