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44 A. Bravais. und A\ kommt auf A 0 . Das Endresultat ist dasselbe, wie wenn das Polyeder um 180° um den Radius 0 G gedreht wäre, der in der Mitte des Bogens A 0 A x endigt. Nun sind die scheinbaren Orte der Ecken nicht geändert; folglich ist G der Endpunkt einer Axe von gerader Ordnung, die augenscheinlich eine binäre Axe ist. Da das regelmässige Dodekaeder dreissig paarweise gegen überliegende Seiten hat, so ist die Gesammtzahl der binären Axen gleich fünfzehn. Kein anderer Durchmesser der Kugel kann eine binäre Axe sein, denn welches auch seine Stellung sein mag, so würde er die ternären Axen zwingen sich zu wiederholen, und man würde mehr als zehn ternäre Axen erhalten, was wie wir wissen un möglich ist. (Satz XLIII;. [581 Man könnte die fünfzehn binären Axen auch erhalten, indem man die Mitten der gegenüberliegenden Kanten des Ikosa eders MM 0 Mi .. . paarweise mit einander verbindet. Satz LIV. — Die decemternären Polyeder können die fünfzehnEbenen, welche durch die paarweise ver bundenen sechs quinären Axen gehen, zu Symme trieebenenhaben. Im entgegengesetzten Falle haben diese Polyeder gar keine Symmetrieebene. Betrachten wir speciell eine Ebene, welche durch den Mittel punkt der Kugel und durch die Ecken Mund M % geht, Fig. 12. Diese Ebene wird eine Symmetrieebene für das Punktsystem {A 0 , Ai), [A i} A 2 )..., (M 2 , M_i), (Mi, M 0 ) etc. sein; sie zieht also nicht die Verdoppelung der Zahl der Axen nach sich, folg lich widerspricht Nichts der Existenz einer solchen Symmetrie ebene. Nun liegt die Ebene MM, normal zu der Geraden KK', die eine binäre Axe des Systems ist. Die Homologen dieser Ebene sind im Ganzen fünfzehn an Zahl, nämlich MM 0 , MM U MM 2 , MM,, MMM Ü M 2 , Mi M*, M 2 M A , M 3 M U , M A My, M ü Mi, M,M 2 , M 2 M,, M,M it M 4 M 0 . Dies sind augenschein lich die einzigen Symmetrieebenen, welche das Polyeder besitzen kann; für jede andere Stellung würde die Anzahl der ternären Axen 10 übersteigen, was nicht der Fall sein kann (SatzjXLHIj. §Die Figur 12 zeigt die Anordnung der sechzig homologen Ecken von S um die PoleM 0 , A u etc. in dem Falle, wo das Po lyeder gar keine Symmetrieebene besitzt. Wenn aber die fünfzehn Symmetrieebenen, welche oben an gegeben sind, im Polyeder existiren, so wird das Dreieck SS'S"