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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 43 [3L\ 4ZA 6 ZA 0(7, OP] [3 L\ 4 A3, 6 JA, C, 3 P 4 , 6P2], Decemternäre Polyeder. Satz LII. — Wenn man ein reguläres Dodekaeder construirt, das zu Diagonalen die zehn ternären Axen eines gegebenen decemternären Polyeders hat, so sind die sechs Normalen, welche von dem Centrum der Form auf die Seiten flächen dieses Dodekaeders gefällt werden, quinäre Symmetrieaxen für diesesPolyeder. Mit der Einheit als Radius, und dem gemeinsamen Schnitt punkt der zehn ternären Axen als Mittelpunkt, beschreibe man eine Kugel, welche in A 0 , A h [57] A 2 , A 3 , A it Bq, B v , B 2 , B i: Bi, Fig. 12, die oberenHälften der zehn ternären Axen schneidet. (Ich habe die Oberfläche dieser Kugel auf der Ebene des gröss ten Kreises stereographisch projicirt, welcher parallel der Fläche A 0 A, A 2 A 3 Ai des eingeschriebenen regelmässigen Dodekaeders, dessen Ecken diese Endpunkte A 0 , A lt ... BqB 4 etc. sind, ge legen ist. Der Leser wird gebeten, sich die Punkte und Linien der Figur auf der Oberfläche der Kugel selbst zu denken; der Mittelpunkt Oder Kugel ist auf der Zeichnung nicht angegeben.) Indem man die Schnittpunkte paarweise verbindet, entstehen regelmässige sphärische Fünfecke, deren zwölf Mittelpunkte M, M 0 , Mi, ... N 0 , Ni etc. die äussersten Enden derjenigen Radien sind, welche vom Mittelpunkt der Kugel normal zu den zwölf Seitenflächen des Dodekaeders gezogen werden. Zwei Drehungen von 120°, die eine um OA 0 , von A 4 gegen B 0 hin, die andere um OB 0 von A 0 gegen C 2 hin, werden A 4 auf B 0 und A 0 auf C 2 führen. Diese beiden Drehungen, welche die Orte der Ecken des Polyeders nicht ändern, sind gleich wertig mit einer einzigen Drehung von 144° um OM 2 von A 0 gegen B 0 hin; diese würde, drei Mal wiederholt, einer Drehung von 72° gleich sein; also ist die Axe OM 2 eine quinäre Axe, und es verhält sich ebenso mit OM, OMq, 0M { etc. Die Punkte ilf 0 , ilZ t , etc sind die Ecken eines regelmässigen der Kugel ein geschriebenen Ikosaeders. Satz LIII. —Die decemternären Polyeder besitzen immer fünfzehn binäre Axen. Man drehe das gegebene Polyeder um 72° um OJZ, Fig. 12, von Aq nach A t hin, dann um 120° um OAj, von A 2 nach A 0 hin; in Folge dieser beiden Drehungen kommt der Pol A 0 auf A v