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38 A. Bravais. ob sie sich auf der Kugel bewege. Deren Mittelpunkt 0 ist auf der Figur nicht bezeichnet.) Der eingeschriebene Würfel, dessen vier obere Ecken A, A, und A 2 sind, wird in B n , B y und B 2 die A 0 , A x und A 2 diametral gegenüber liegenden Ecken ha ben. AA 0 B X B 2 , A A 0 B 2 A x und AA X B 0 A 2 sind drei sphä rische quadratischePolygone, deren Mittelpunkte J/ 0 , M\ und M-, die Endpunkte der drei Normalen sind, welche vom Mittelpunkt auf die Seitenflächen des eingeschriebenen Würfels gefällt werden. Eine doppelte Drehung von 120°, nämlich erstens um A 2 als Pol, von A gegen B 0 hin, und zweitens um B 0 als Pol, von A 2 [52] gegen A y hin, führt A auf B lt und A> auf A x , ohne den Ort der Ecken zu ändern. Diese doppelte Drehung ist äquiva lent einer Drehung von 180° um den Pol M 0 . Also ist 0 ,l/ 0 eine Axe, deren Symmetrie 2 oder ein Vielfaches von 2 ist. Ausserdem aber kann die Symmetrie-von 03I (I nicht von höherer Ordnung als 4 sein; sonst würde die Zahl der ternären Axen, welche um den Pol M n gelegen sind, 4 übersteigen, was den Anfangsbedingungen widerspricht. Also sind die drei recht winkeligen Axen OM 0 , OM v und OM 2 binär oder quaternär. Satz XLV'. ■— Die quaterternären Polyeder, mit zu einander recht winkeligen binären Axen, können keine andere binäre Axe besitzen. Wenn eine andere binäre Axe existirte, so könnte sie den oberen Theil der Kugeloberfläche, Fig. 11, nur in einem der drei Punkte dnrchschneiden, welche die Mittelpunkte, entweder der Bögen AA 0 , AA, und AA 2 , oder der homologen Bögen A n B, A 0 B 2 , A y B 2 , B n , A 2 B 0 und A 2 B x sind, denn für jede andere Stellung würde diese Axe die ternären Axen zwingen sich zu wiederholen, was ihre Anzahl verdoppeln würde. Setzen wir voraus, dass G n , die Mitte von AA 0) der Endpunkt der neuen binären Axe sei, so werden zwei Drehungen des Polyeders, er stens von 180° um den Pol G 0 , zweitens von 120° um den Pol A 0 in dem Sinne A gegen B l: A nach A 0 , dann nach A 0 , A 0 nach A , dann nach B,, B x nach A t , dann nach A 2 , A 2 nach B 2 , dann nach A bringen. Diese beiden Drehungen, welche die Orte der Ecken des Poly eders ungeändert lassen, sind äquivalent einer einzigen Drehung
