Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 31 sieben Arten der Symmetrie haben können, welche in der Tabelle am Schluss dieser Abhandlung angegeben sind. Man kann q in dieser Tabelle alle möglichen Werthe geben, von q = 1 einschliesslich bis q = oo. §. IV. — Symmetrische spliäroedrisclie Polyeder. Satz XXXIX. — Jedes sphäroedrische Polyeder besitzt wenigstens zwei Axen X* und A 9 ', deren Ord nungszahlen grösser als zwei sind. Ein sphäroedrisches Polyeder (Definition IX) kann nicht blos eine einzige Symmetrieaxe besitzen, denn sonst müssten, um die Wiederholung dieser Axe durch die Symmetrieebenen des Poly eders zu vermeiden (Satz VIII, Zusatz), diese Ebenen die einzige Symmetrieaxe enthalten oder mit ihrer Normalebene zusammen fallen. Diese einzige Axe könnte also immer als eine Hauptaxe angesehen werden und das Polyeder wäre kein sphäroedrisches. Es giebt demnach zwei oder mehr Symmetrieaxen in den sphäroedrischen Polyedern. Seien nun LI und X®' zwei Axen, deren Ordnungszahlen q und q nicht kleiner als die der anderen Axen sind, so behaupte ich, dass qL> 2 und q' )> 2 sein muss. Nehmen wir zuerst an, dass man q = 2 und q' — 2 habe. Die Normale zur Ebene der [45] Axen L 2 und L' 2 wird eben falls eine Symmetrieaxe Lt"sein (Satz XI), und da nichtq" 1> q, q" j> q' sein kann, so ist q' = 2. Ueberdies stehen L 2 und X' 2 aufeinander senkrecht, sonst würde man noch eine dritte binäre Axe auf der Ebene der Axen X 2 und X' 2 haben, und q" würde grösser sein als 2 (Satz XIII), was nicht möglich ist. Man hat also dann drei binäre rechtwinklige Axen X 2 , X' 2 undX" 2 , und ich behaupte, dass wenigstens eine dieser Axen als eine Haupt axe angesehen werden kann. In der That kann dann in dem Polyeder keine andere binäre Axe als die drei Axen X 2 , X' 2 und X" 2 Vorkommen, denn jede zu X 2 schräge Axe würde, mit X 2 verbunden, andere binäre Axen in der durch sie und X 2 bestimmten Ebene (Satz X, Zusatz), und eine Symmetrieaxe von höherer Ordnung als 2 entstehen lassen (Satz XIH). Ebenso muss jede Symmetrieebene durch eine der drei Axen X 2 . ... gehen; ohne das würden drei andere binäre, in Bezug auf diese Ebene homologe Axen entstehen, und die Gesammtzahl