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Abhandlungen über symmetrische Polyeder. 19 sieht hieraus, dass die Linie OD eine ternäre Axe des Polyeders ist, und da es acht Dreiecke mit drei rechten Winkeln giebt, de ren Mittelpunkte paarweise einander gegenüber liegen, so erge ben sich vier solcher ternären Axen, alle ausserhalb der Ebenen AOB, AOC und BOG. Zusatz. — Ein Polyeder mit drei auf einander senkrechten quaternären Axen besitzt keine Hauptaxe, denn in jedem Poly eder, welches eine Hauptaxe besitzt, müssen wenigstens zwei von den drei Winkeln, welche drei beliebige, nicht in derselben Ebene gelegene Axen L, L' und L" bilden, nach der Definition der Hauptaxe gleich 90° sein. Nun genügt aber das System der drei Axen OA, OB und OD dieser Bedingung nicht. Satz XV. — In jedem Polyeder, welches eine Hauptaxe AI besitzt, kann, wenn eine zweite Symme- trieaxe existirt, diese Axe, welche nothwendigerweise in einer zu AI normalen Ebene liegt, nur von binärer Symmetrie sein. Seien CA. Eig. 7, die Axe Al, GL die zweite Axe mit der unbekannten Ordnungszahl ihrer Symmetrie x. Es ist klar, dass diese Axe in einer zu A q normalen Ebene liegen wird, und ich behaupte, dass x = 2 sein muss. In der That müssen nach der Definition der Hauptaxe die zu Al in Bezug auf L x homologen Axen (Satz X, Zusatz) senkrecht auf Al stehen, oder mit ihr zusammenfallen. Also kann man nur x = 2 oder x — 4 annehmen, was im ersten Pall auf eine halbe, im zweiten Fall auf eine viertel Umdrehung um L x hin auskommt. Wenn x = 4 ist, so wird die Axe GL quaternär sein, und die Axe CA wird sich in CL' wiederholen, welche eine Un gleichartige Axe sein muss (Satz X) und in der zu CA norma len und durch C hindurch gehenden Ebene liegt. CL' wird also auch eine Axe von der Ordnung q sein, und damit die zu CL in Bezug auf CL' homologen Axen nicht aus der Ebene LCL' heraustreten, wie es die Definition der Hauptaxe verlangt, so ist nothwendigerweise q = 4 oder q — 2. Der Fall q — 4 stimmt mit dem Fall der drei quaternären rechtwinkligen .Axen überein [33] und muss verworfen werden, denn es giebt hierbei keine Hauptaxe (Satz XIV, Zusatz). In dem Falle q — 2 wird die Axe CL die wahre Hauptaxe sein. Es ist in der That leicht zu sehen, dass es keine Sym metrieebene geben kann, die durch CA geht und schräg gegen