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18 A. Bravais. male zu dieser Ebene eine Symmetrieaxe, deren Ord nungszahl q oder ein Vielfaches von q ist. Die Winkel dieser Axen sind nothwendigerweise unter sich gleich, sonst würden dieselben sich gegenseitig in derselben Ebene reproduciren (Satz X, Zusatz) und ihre Anzahl wäre grösser als die Zahl q. Seien also CP und Cp zwei benachbarte binäre Axen, Fig. 5, und CA die Normale zu ihrer Ebene, so wird man offenbar haben: rc P = ^. q Wenn nun s das Homologe von S in Bezug auf die Axe CP ist, und S' das Homologe von s in Bezug auf die Axe Cp, so wird die Eotation, welche S nach S' bringt, indem sie das Polyeder um CA dreht, nach der Darlegung des vorigen Satzes, betragen: Winkel P CP' — 2 • PCp 360° Also wird die Gerade CA eine Symmetrieaxe von der Ordnung q oder eines Vielfachen von q sein. Satz XIV. — Wenn drei auf einander senkrechte, quaternäre Axen vorhanden sind, so existiren gleich zeitig vier ternäre Axen ausserhalb der Ebenen, welche die quaternären Axen paarweise verbinden. Seien OA, OB und OC, Fig. 6, die drei quaternären Axen, welche sich in O, dem Centrum der Form des Polyeders schnei den. Lassen wir das Polyeder eine Viertel-Umdrehung um OA und zwar von B nach C machen. Der scheinbare Ort der Ecken wird derselbe bleiben, und die Axe OB wird nach OC gelangen. Lassen wir das Polyeder ein zweites Viertel einer Umdrehung machen, und zwar um die Verticale OC, von A nach B. Der scheinbare Ort der Ecken wird noch immer derselbe sein, die Axe OB wird in 0C bleiben, und die Axe OA wird nach OB gelangen. Das Resultat dieser doppelten Drehung wird also sein, dass das System der [32] mit dem Polyeder festverbunde nen und mit demselben beweglichen Axen OA und OB auf das System der feststehenden Geraden OB und OC übergeführt wird. Nun ist ersichtlich, dass diese Aenderung der Lage einer einzi gen Drehung von 120° um die Gerade OD gleichkommt, welche das Centrum der Form 0 mit dem Mittelpunkt D, des drei rechte Winkel besitzenden, sphärischen Dreiecks ABC verbindet. Man