92 A. Bravais. Würfel abgeleitet denken, dessen sechs Seitenflächen centrirt sind. Zusammengefasst lautet unser Ergebniss: Der Würfel, das Rhomboeder von 120° (das Rhomboeder, das Kanten des Würfels gerade abstumpft, nach der Ausdrucksweise derKrystallo- graphen) und das Rhomboeder von 70° 31'44" (von dem der Würfel Kanten gerade abstumpft) sind die einzigen Rhomboeder, welche als Kern einer Schaar dienen können, die vier ternäre Axen besitzt. Satz LXXVI. —Die Schaaren, welche vier ternäre Axen besitzen, besitzen auch drei quaternäre Axen. Man kann an die Stelle der drei Rhomboeder, die wir eben erhalten haben, den centrirten Würfel, den nicht een- trirten Würfel und den Würfel mit sechs centrirten Seiten setzen. Nun besitzt jeder dieser Körper augenscheinlich drei quaternäre Axen; dies sind die Linien [85], welche Mitten der einander gegenüber liegenden Seiten dieser Würfel paar weise verbinden. 'Diese quaternären Axen sind zu einander rechtwinklig. Satz LXXVII. — Wenn zwei Axen von quater närer Symmetrie vorhanden sind, so giebt es deren drei, welche rechtwinklig zusammenstossen, und es kann keine grössere Anzahl geben. Dieser Satz liesse sich beweisen wie der Satz LXXIII. Die Schnittpunkte der Axen mit der Kugel vom Radius 1 bilden ein System von sechs Punkten, die so vertheilt sind, dass sie die Ecken eines regelmässigen eingeschriebenen Okta eders vorstellen; folglich u. s. w. Der Satz ist überdies eine unmittelbare Folgerung aus dem Satze XLI meiner »Abhandlung über die Polyeder von sym metrischer Form«. Aufgabe XXX. — Die Schaaren zu finden, welche drei quaternäre Axen besitzen. Der Grund-Körper jeder Schaar mit einer quaternären Axe ist ein gerades Prisma mit quadratischer Basis, das centrirt oder nicht centrirt ist (Satz LXVI). Sei nun 0 A CB (Fig. 37) die Basis dieses Prismas, wobei O, A, C, B Gitter punkte der Schaar sind. Sei a der Parameter der Punktreihen, welche den Seiten dieses Quadrats gleich gerichtet sind, d der Parameter der normal zu seiner Ebene gerichteten Punktreihen.