lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 87 aber wenn man den Mittelpunkt des so erhaltenen regel mässigen sphärischen Polygons AB CD ... co nennt (Fig. 34), so muss Oio auch eine Symmetrieaxe der Art sein, dass die Wiederherstellung der Gitterpunkte sich nach einer Drehung durch den Winkel AcoC um Ow vollzieht. Nun würde man in dem Falle des regelmässigen Dodekaeders haben Aio C = 144°, [80] ein Winkel, der niemals die Orte der Gitterpunkte wieder herstellen kann (siehe den Corollarsatz zum Satze XLVI). Also muss der Fall der zehn ternären Axen, die wie die Diagonalen eines regelmässigen Dodekaeders liegen, ausgeschlossen werden; folglich etc. Diejenigen unserer Leser, welche einen ausführlicheren Beweis dieses Satzes wünschen sollten, finden ihn in meiner »Abhandlung über die Polyeder von symmetrischer Form«. Ich beschränke mich darauf, an das, was ich in dieser Ab handlung bewiesen habe, zu erinnern: 1. Wenn in einem Polyeder zwei Axen von höherer Ordnung als der zweiten Vorkommen, so ist das Polyeder sphäroedrisch (Satz XL der angeführten Abhandlung); 2. Dass zwei Gruppen von sphäroedrischen Polyedern existiren, die quaterternären mit vier ternären Axen, die so zu einander liegen wie die vier Diagonalen eines Würfels, und die decemternären mit zehn ternären Axen, die zu einander liegen wie die zehn Diagonalen eines regelmässigen Dode kaeders. (Corollarsatz zu Satz XLIII derselben Abhandlung); 3. Dass die decemternären Polyeder zugleich zehn quinäre Axen haben (Satz LII derselben Abhandlung). Da die Schaaren niemals quinäre Axen besitzen können, so können sie folglich nicht zehn ternäre Axen haben. Daraus folgt offenbar, dass eine jede Schaar, welche zwei ternäre Axen hat, in die Kategorie der quaterternären Polyeder gehört, und sogar in die specielle Art der quater ternären Polyeder mit Symmetrie-Centrum, weil jeder Gitter punkt einer Schaar als ihr Symmetrie-Centrum genommen werden kann. So ist also der vorliegende Satz vollständig bewiesen. Satz LXXIY. — Die Yerbindungs-Ebene von zwei ternären, nicht parallelen Axen ist eine Symmetrie- Ebene der Schaar.