86 A. Bravais. Der erste Theil des ausgesprochenen Lehrsatzes ist be reits bewiesen (Satz LXI, Corollarsatz). Die angegebene Weg nahme kommt darauf hinaus, [79] zwei Gitterpunkte von je dreien auf jeder der grossen Diagonalen der geraden Grund- Prismen mit rhombischer Basis zu beseitigen. Nun haben wir aber gesehen (Satz LII1), dass die Einschaltung von neuen Gitterpunkten oder die Beseitigung der eingeschobenen Gitter punkte in einem System von parallelen Punktreihen die ver schiedenen Systeme der Punktreihen oder der Netzebenen nicht ändert, wenigstens was die Richtung dieser Systeme anbetrifft. Die Beseitigung der Ebenen mit Indices, die nicht Viel fache von 3 sind, modificirt die Systeme der Punktreihen, sei es indem es ihre Dichtigkeit dreimal geringer macht, sei es indem es ihren Parameter dreimal grösser macht. Sie modificirt die Systeme der Netzebenen, sei es indem sie die Dicke der Schichten verdreifacht, sei es indem sie den Flächeninhalt der Grundmasche der Netze dieser Ebenen verdreifacht. Terquaternäre Symmetrie. Der Inhalt der folgenden Lehrsätze und die Definition auf Seite 94 werden zeigen, was man unter terquaternärer Symmetrie zu verstehen hat. Satz LXXIII. — Wenn eine Schaar zwei Axenvon ternärer Symmetrie besitzt, die nicht parallel sind, so besitzt sie deren vier, welche wie die vier grossen Diagonalen eines Würfels angeordnet sind, das heisst sich unter dem Winkel 70° 31' 44" schneiden, dessen Cosinus gleich ist, und sie kann keine grössere Zahl von diesen Axen besitzen. Seien OA und OB (Fig. 34) die beiden gegebenen Sym- metrieaxen, welche von demselben Gitterpunkte O ausgehen, und verlängern wir sie, bis sie die Kugel mit dem Centrum O und dem Radius gleich 1 treffen. Schlagen wir den Bogen des grössten Kreises AB, und lassen wir das System 0AB sich durch 120 Grad um OB drehen, bis es nach OCB kommt, dann durch 120 Grad um OC, etc. Auf diesem Wege werden wir leicht beweisen, dass die ternären Axen entweder wie die vier Diagonalen eines Würfels oder wie die zehn Diagonalen eines regelmässigen Dodekaeders angeordnet sind;