80 A. Bravais. rhombischer Basis von 60 und 120 Grad haben wird. Umgekehrt geht man von der senären Schaar auf die entsprechende ternäre Schaar über, die dreimal reicher an Gitterpunkten ist, indem man zwei neue Gitterpunkte auf jedem Parameter eines Punktreihen-Systems einschaltet, welches zu einer der beiden grossen Diagonalen des Grund-Prismas von rhombischer Basis parallel ist. Aber es ist wichtig zu bemerken, dass man auf diese Weise zwei verschiedene Schaaren erhält, je nachdem man die eine oder die andere der beiden Diagonalen gewählt hat; diese Schaaren haben die Eigenschaft zusammenzufallen, wenn man eine von ihnen um 180 Grad um die ternäre Axe dreht. Also können aus einer und derselben senären Schaar zwei ternäre Schaaren entstehen, welche durch ihre Lage im Baume ver schieden sind, eine directe ternäre Schaar und eine inverse ternäre Schaar. Satz LXII. — Jede Schaar mit einfach ternärer Symmetrie hat als Kern ein Rhomboeder. Nehmen wir die Figur 30 und den zweiten Beweis des vorigen Satzes wieder auf. Drehen wir das Parallelogramm OM' 0'"M" durch 120 Grad um 0 0'"' dann wird der Gitter punkt M' nacheinander an die Stelle von N' und P' treten, und der Gitterpunkt M" wird an die Stelle von N" und P" treten. Nun werden, ebenso wie die vier Gitterpunkte 0, JV', P', M" einen ebenen Rhombus bilden, auch OM'N'P'' und OM' P'N" den vorigen gleiche ebene Rhomben sein, und es ist klar, dass dasselbe von den drei oberen Flächen gilt. Der so erhaltene Körper wird also ein Rhomboeder sein, und da er weder in seinem Innern, noch auf seinen [74] Seiten oder Kanten irgend einen Gitterpunkt der Schaar ent hält, so kann er als das Grundparallelepiped oder der Kern der Schaar angesehen werden. Corollarsatz. — Man kann die Schaar auch aus einem der elementaren Tetraeder OM'N'P', O'"M"N"P" (Fig. 30) ableiten; die vier Ecken genügen, um das ganze System der Schaar vollständig zu bestimmen; aber dieses Tetraeder ist genau genommen kein Grundkörper. Satz LXIII. — Jede Schaar mit ternärer Sym metrie besitzt drei Symmetrie-Ebenen, welche durch die Axe gehen und senkrecht auf den drei Richtungen der Seiten des Hauptdreiecks des Netzes der zur Axe normalen Ebenen sind.