lieber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 7 1 0 geworden ist, so wird der Punkt t" dann der ursprünglichen Schaar angehören; so wird also das System der Punktreihen Ot in der Schaar noch bestehen, nachdem die Netzebenen. z=j8+ 1, z=j6+ 2, z=jO + B— 1 unterdrückt sind. Demnach bestehen alle Punktreihen-Systeme, ohne dass ihre Richtung verändert wäre, nach Unterdrückung der zwischengeschalteten Gitterpunkte. Diese Systeme sind nur in Bezug auf ihre Dichtigkeit oder die Grösse ihres Parameters verändert, für jedes von ihnen lässt die Unterdrückung der Gitterpunkte das Verhältniss des Parameters zu der Dichtig keit im Verhältniss 0: 1 wachsen. Corollarsatz. —• Dieselben Punktreihen-Systeme finden sich in den beiden Schaaren wieder mit Modificationen, welche nur die Grösse des Parameters oder die Dichtigkeit des Systems betreffen; es folgt daraus, dass dieselben Systeme der Netz ebenen auch in beiden Schaaren vorhanden sind; immerhin wird die Dicke der Schichten oder der Flächeninhalt der Grund-Masche in der Weise von der einen zur anderen vari- iren, dass ihr Product im Verhältniss 6 : 1 durch die Unter drückung der zwischengeschalteten Punkte wächst. Nach diesen allgemeinen Sätzen wollen wir nach einander die Eigenschaften durchnehmen, welche jede besondere Art der Symmetrie charakterisiren. Binäre Symmetrie. Satz L1V. — In jeder Schaar mit binärer Sym- metrie-Axe wird, wenn man die beiden angrenzenden Netzebenen einer zur binären Axe normalen Netz- ebene betrachtet, das Netz einer dieser beiden Ebe nen mit der orthogonalen Projection des Netzes der anderen zusammenfallen. Denn seien P eine zur Axe normale Netzebene und P', P" ihre beiden angrenzenden; die Netze von P' und P" sind homolog in Beziehung auf die Ebene P, welche eine Sym metrie-Ebene der Schaar ist (Lehrsatz LI1); also ist das Netz einer der Ebenen P', P" die orthogonale Projection des Netzes der anderen. Corollarsatz. — Wenn man allen diesen auf einander folgenden Netzebenen, die alle normal zu der Axe sind, Ord-