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70 A. Bravais. Dichtigkeit sich, nicht verändert und dem Volumen fl des Grund-Parallelepipedes gleich bleibt, Wenn man ein Punktreihen-System durch das Dazwischen schieben von neuen äquidistanten Gitterpunkten zwischen zwei benachbarten Gitterpunkten auf jeder Punktreihe verändert, so modificirt man die Schaar, und je nachdem die Zahl der eingeschobenen Gitterpunkte 1, 2, 3, . . . auf jedem Parameter ist, wird die neue Schaar verdoppelt, verdreifacht oder ver vierfacht sein bezüglich der Anzahl ihrer Gitterpunkte. Alsdann verkleinert sich das Grund-Parallelepiped in dem Verhält- niss der Einheit zu den Zahlen 2, 3, 4, .. . Nachdem dies festgestellt, kann man den folgenden Satz beweisen. Satz LIII. — Dieselben Punktreihen-Systeme fin den sich in der ursprünglich gegebenen Schaar und in der Schaar wieder, die daraus durch die Zwischen schaltung von neuen Gitterpunkten auf einem ihrer Punktreihen-Systeme abgeleitet ist. Es seien drei conjugirte Axen als Coordinaten-Axen ge nommen, wobei die Axe der z eine der Punktreihen des durch die Zwischenschaltung von neuen Gitterpunkten modifieirten Systems ist; dann werden, wenn a, b, d die drei Parameter dieser Axen sind, a, b, — die drei Parameter in der neuen Schaar sein, wobei 6 — 1 die Zahl der auf jedem Parameter hinzugefügten Gitterpunkte ist. Um auf die ursprüngliche Schaar zurückzukommen, unterdrücke man in jener alle Netz ebenen von der Form z=jO+ 1, =j6+2, ..., =jO + d— 1, wobei j eine beliebige ganze Zahl ist, und behalte nur die Ebenen 2 = 0, z — 0, z — 20, ..., 2 = JO bei. Betrachten wir jetzt die Punktreihe, welche von dem Anfangspunkt 0 (Fig. 20) nach dem Gitterpunkte t mit den Coordinaten [m, 11, p) von der Schaar mit zwischengeschalteten Gitterpunkten geführt ist. Alsdann wird, wenn die Ordinate p ein Vielfaches von 6 ist, der Gitterpunkt t der ursprüng lichen Schaar angehören, und das System der Punktreihen Ot wird sich mit derselben Grösse des Parameters in der ursprünglichen Schaar wiederfinden. Wenn die Ordinate p [65] kein Vielfaches von 0 ist, so verlängere man Ot um tt" — (0 — \)Ot; da die Zahlen-Ordinate von dem Gitter punkt t", die parallel zu den z liegt, dann ein Vielfaches von