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Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 63 Um die folgenden Auseinandersetzungen deutlicher zu gestalten, werde ich voraussetzen, dass zwei gleiche Schaaren vorhanden sind, die, Gitterpunkt mit Gitterpunkt, zusammen fallen, so dass sie nur eine einzige Schaar vorstellen. Die Lage einer dieser Schaaren wird als unveränderlich angenom men, die andere möge sich ganz in einem Stücke und wie ein fester Körper bewegen können, sowohl durch Translation wie durch Rotation. [58] Wenn die bewegliche Schaar, indem sie sich um die Axe dreht, nach einer halben Umdrehung, oder einer Drehung von 180 Grad, wieder mit der feststehenden Schaar zusammenfällt, wird die Axe mit dem Namen binäre Symmetrie-Axe oder kürzer binäre Axe bezeichnet. Irgend ein beliebiger Gitter punkt der Schaar hat seinen homologen Punkt auf der anderen Seite der Axe. Die Gerade, welche diese beiden Punkte ver bindet, ist zur Axe normal und wird durch sie halbirt. Wenn das Zusammenfallen nach einer Drittel-, einer Viertel- oder einer Sechstel-Umdrehung erfolgt, so soll die Drehungsaxe den Namen ternäre, quaternäre oder senäre Symmetrie-Axe erhalten. In den Schaaren mit ternärer Symmetrie-Axe sind die Gitterpunkte je zu dreien um die Axe geordnet, und jeder Gitterpunkt hat zwei homologe. Die An ordnung ist eine solche zu vieren um die quaternären Axen, und zu sechsen um die senären Axen. Die Symmetrie einer Axe soll als Ordnungszahl 2,3,4 oder 6 haben, je nachdem dieselbe binär, ternär, quaternär oder senär ist. Diese Ordnungszahl soll bei den Rechnungen durch den Buchstaben q bezeichnet werden. Zwei Symmetrie-Axen derselben Ordnung sollen Axen derselben Art heissen, wenn die Anordnung der Gitter punkte um die eine von ihnen dieselbe ist wie um die andere. Um diese Aehnlichkeit der Anordnung zu constatiren, ver bindet man in Gedanken die Gitterpunkte der Schaar mit jeder der beiden Axen, und eins der beiden Systeme wird als beweglich vorausgesetzt. Wenn man dann zu gleicher Zeit die bewegliche Axe mit der festen, und die beweglichen Gitter punkte mit den festen zur Deckung bringen kann, so sollen die Axen von derselben Art heissen. Es ist nothwendig, dass die Axen von derselben Ordnung sind, und dass ihre Parameter gleich sind, wenn sie von der selben Art sein sollen. Im Allgemeinen sind diese Bedingungen hinreichend. Es giebt indessen einen besonderen Fall, wo