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Ueber die Systeme von regelmässig verteilten Punkten. 57 [52] woraus man sieht, dass, wenn X, Y, Z immer ganze Zahlen sein sollen, es nothwendig ist, dass die drei gegebenen Punktreihen conjugirt sind. Indem man diese Voraussetzung macht, wird [mtip") — ± 1 , was die vorhergehenden Gleichungen in die folgenden ver wandelt j ± X = [n’p") x -)- [p’m") y + [m’n) z, (57) -j ± I 7 = (pn") x -f- [mp") y [nni’) z , I ± Z = (np') x + [pm') y + [mri] z. Man führe durch eine passende Drehung des Systems 0 T, OT', OT" um O, Ol 1 auf Ox : führe OT' in die Ebene xOy, indem Sorge getragen wird, dass OT' und Oy auf derselben Seite liegen in Bezug auf die nach beiden Rich tungen unendlich verlängerte Gerade Ox: wenn dann OT" und Oz in Bezug auf die Ebene der xy auf dieselbe Seite fallen, so muss den ersten Gliedern der Gleichung (57; das Zeichen + gegeben werden; im umgekehrten Falle muss das Zeichen — vorgezogen werden. Corollarsatz. — Nehmen wir an, dass die Axe der z allein verändert, und durch OT" ersetzt werde, und nennen wir m a , n 0 die den Axen der x und der y parallelen Zahlen- Coordinaten von T". In diesem Fall wird sein m — 1, n — 0 , P = 0, m' = 0, ri = 1, p' = 0, m"=m ü , ri' = w 0 , p" = 1, und die Gleichungen (55) werden geben x =■ X. + m 0 Z, V = Y+ n 0 Z, z = Z. Die umgekehrten Formeln werden dann sein X — x — m ü z, Y = y — n 0 z, Z = z. Die der veränderten Axe parallele Zahlen-Coordinate bleibt unverändert.