Heber die Systeme von regelmässig verteilten Punkten. 55 Volumen des Grund-Parallelepipedes, so wird man haben o = 4S[ghk). Behalten die Winkel «, ß, ö, u, v, <t; ihre frühere Bedeutung bei, so können wir die Gleichung (41) in die Form bringen (52) i2 — abdy 1 — cos 2 « — cos 2 ß— cos 2 d-|-2coscicosßcosö. Entnehmen wir aus der Gleichung (50) den Werth von S*[g7ik), um ihn in die zum Quadrat erhobene Gleichung (51) einzusetzen, so erhalten wir , « 2 J 2 rf 2 ( 1 — cos 2 « — cos-ß — cos 2 (l+ 2cos«cosßcos4) ~' g-(p 2 -j-h~x 2 -{-k 2 xp 2 — '2 g h<p/cos m — 2gk(pxp cos v — 2A/o/t^cos g, Wenn wir schliesslich <p, %, ip durch ihre Werthe in a, b, d, a, ß und ö ersetzen, so wird diese Gleichung (53) z/ 2 = 1 — cos 2 «—cos 2 ß—cos 2 tf+ 2 cosCCCOSß COS et ^Äsin/Ssint)' cosr—2- Man hätte auch direct auf diese Formel kommen können, wenn man den analytischen Ausdruck für die Senkrechte gesucht hätte, die von dem Anfangspunkt auf diejenige Ebene gefällt ist, deren Gleichung in linearen Coordinaten die folgende ist 01+4+4=1. J a b d Satz XXXIX. — Der mittlere Abstand der Gitter punkte einer Schaar ist gleich der Cubikwurzel aus dem Volumen ihres Grund-Parallelepipedes. In Uebereinstimmung mit der von Poisson gegebenen Definition des mittleren Abstandes (siehe Seite 24) wollen wir den mittleren Abstand der Gitterpunkte einer Schaar die Seite eines Würfels nennen, die gleich der Einheit des Volumens ist, getheilt durch die Zahl der Gitterpunkte, welche diese Einheit des Volumens enthält. Sei E dieser mittlere Abstand; indem wir die als sehr gross vorausgesetzte Zahl der Gitterpunkte, welche die Einheit des Volumens enthält, wieder q nennen, erhalten wir