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50 A. Bravais. (43) mn'p"—mp'n'Arpmn—nm'p"+np'm"—pn'm"=± 1. Umgekehrt ■wird man, wenn der Gleichung (43) genügt ist, daraus schliessen, dass £2' = £2, und die drei Punktreihen werden conjugirte sein (Satz XXXVI). Aufgabe XXIII. — Die Bedingung dafür zu finden, dass zwei Punktreihen, welche vom Anfangspunkt nach den Punkten T und T (Fig. 20) gehen, in der Netzebene, die diese beiden Punktreihen enthält, conj ugirt si nd. Seien (m, n, p) und (m' } n', p) die Coordinaten von T und T. Die Gleichung der Ebene OTT wird durch die Formel (36) gegeben sein, in welcher g, h und k Werthe haben, die aus den Formeln (35) hervorgehen. Die Gleichung der beiden an OTT angrenzenden Netzebenen ist (Aufgabe XIX) gegeben durch gx + hy + kz == ± 1. Also könnte diese Gleichung geschrieben werden x{np' — pn') -j- g (pm' — mp') z[mn' — nm!) = ± D. [46] Seien jetzt (m", n", p") die Coordinaten eines Gitter punktes T", der einer dieser angrenzenden Ebenen angehört. OT" wird eine zu der Ebene OTT’ conjugirte Punktreihe sein, und man hat (44) m"[np'—pn')-\-n" (pm'—mp') -\-p"(mn'—nm') =dbD. Wenn aber OT und OT' schou zwei zu einander in der Ebene OTT conjugirte Punktreihen sind, so werden 0 7’, OT' und OT' drei conjugirte Punktreihen sein, und man wird gemäss der durch (43) ausgesprochenen Bedingung erhalten m" [np' —pn') -j- n" [pm' — mp') + p" (mn' — nm') — ± 1. Aus dieser Gleichung und der Gleichung (44) schliesst man, dass D— 1 ist. Umgekehrt wird, wenn D= 1 ist, der Bedingung (43) genügt sein, und die Punktreihen OT und OT' werden zu einander in ihrer Verbindungsebene conj ugirt sein (Satz XXXII). Also wenn np' —pn!, pm' — mp', und mn' — nm! keinen anderen gemeinsamen Theiler haben als die Einheit, so sind die Punktreihen OT und OT’ conjugirte Punktreihen des Netzes der Ebene 0 T T', und die Umgekehrung dieses Satzes ist eben falls richtig. Satz XXXVII. — Wenn (m, n, p) un.d (m', n', p') die Zahlen-Coordinaten der Gitterpunkte T und T'