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Ueber die Systeme von regelmässig vertheilten Punkten. 49 in der Ebene 0 AB und eine grössere Höhe hat, ein grösseres Volumen haben als 22, was der in der Formulirung des Satzes enthaltenen Voraussetzung zuwider ist. Folglich u. s. w. AufgabeXXlI. — Die Bedingung zu finden, unter der drei Punktreihen conjugirt sind. Seien (m, ?z, p), (m' t n , p') und (rri', n", p") die Co- ordinaten von den drei Gitterpunkten T, T und T” (Fig. 20). Man setzt voraus, dass m, n und p keinen anderen ge meinsamen Theiler als die Einheit haben, und dass für m', ri, p und rri', n", p" das Gleiche gilt. Man sucht die Bedingung, unter welcher die Punktreihen OT, O T und 0 T", deren Symbole mnp, rri rip' und rri'n p" sind, conjugirte Punktreihen sind. Seien (£, rj, 'Q (£', rf, £') und (f", rf', ’C) die linearen Coordinaten der Punkte T, T' und T", in dem System der conjugirten Axen Ox, Oy und Oz, welche a, b und d als Parameter haben. Man beweist in den Lehrbüchern der analytischen Geo metrie, dass das Volumen eines Tetraeders, das seine Spitze im Anfangspunkt hat, und die Ecken seiner dreieckigen Basis in den Punkten (£, rj, ’C), (£', rf, £') und (£", rf, £")> [45] bis aufs Vorzeichen den Werth hat i(!i7'r-!£V + C?i -lyrr + ijrr-^'n wenn das System der Axen rechtwinklig ist. Wenn aber die Axen schiefwinklig sind, und wenn man Winkel x Oy = d, Neigung von Oz gegen x Oy — r hat, so muss dieses Volumen mit sin o sin e multiplicirt werden. Wenn man also das Volumen des über den Parametern OT, OT' und OT" construirten Parallelepipedes 22' nennt, und dasjenige des Grundparallelepipedes 22, so wird bis auf das Vorzeichen 22' = [mrip" — mp' ri' -j- pm ri' — nnip" -\-np'ni' —pn'rri') abd sin d sin z, oder auch wegen der Gleichung (41) (42) 22' = [mrip” — mp’ ri' + pm n" — nnip" -f- np' rri' — pri rri') 22. Wenn die Punktreihen conjugirt sind, muss 22' = 22 sein (Satz XXXV). Also wird die gesuchte Bedingung sein Ostwald’s Klassiker. 90. 4